Bất đẳng thức Cauchy \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\) viết lại dưới dạng \(ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\) (*) (a, b ≥ 0)

Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dưới dạng (*) với hai số dương 2x và xy ta được :

\(2x.xy\le\left(\dfrac{2x+xy}{2}\right)^2=4\)

Dấu “ = “ xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức là khi x = 1, y = 2=> max A = 2 <=> x = 2, y = 2.

Mình mới học lớp 6

Nên không biết nha

Chúc các bạn học giỏi

Mình cũng học lớp 6 nè

Ta có

\(2x+xy=4\)

\(\Leftrightarrow xy=4-2x\)

Thế vô A ta được

A = x(4 - 2x) = - 2x² + 4x

= (- 2x² + 4x - 2) + 2 = 2 - 2(x - 1)² \(\le2\)

Vậy GTLN là A = 2

PS: lớn nhất chứ không phải nhỏ nhất nhé

a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :

\(x^2+1\geq 2x\\ 4y^2+1\geq 4y\\ 9z^2+1\geq 6z\)

Suy ra \(S\leq 6\)

Dấu = xảy ra khi \(x=1;y=\frac{1}{2}; z=\frac{1}{3}\)

Không mất tính tổng quát, giả sử x > y (do tổng x + y = 2009 là một số lẻ)\(\Rightarrow\)x \(\ge\)y+1 \(\Rightarrow\)x - y - 1 \(\ge\)0.

Từ đó, ta có: (x +1)(y -1) = xy - (x - y -1) \(\le\)xy.

Đến đây ta hiểu rằng, khi x và y càng xa nhau thì tích xy càng bé.

như vậy, GTLN của xy = 1005.1004; GTNN của xy = 2008.1

Lời giải:

Từ \(2x+xy=4\rightarrow y=\frac{4}{x}-2\) ( hiển nhiên \(x\neq 0\) )

Do đó mà

\(A=x^2y=x^2\left (\frac{4}{x}-2\right)=-2x^2+4x=-2(x^2-2x+1)+2\)

\(\Leftrightarrow A=-2(x-1)^2+2\leq 2\) do \(-(x-1)^2\leq 0\forall x\in\mathbb{R}\)

Vậy \(A_{\max}=2\Leftrightarrow (x,y)=(1,2)\)