Đặt \(\left(\sqrt{7a+9};\sqrt{7b+9};\sqrt{7c+9}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\le x;y;z\le4\\x^2+y^2+z^2=34\end{matrix}\right.\)

Ta cần tìm min của \(S=x+y+z\)

Do \(3\le x;y;z\le4\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)\left(x-4\right)\le0\\\left(y-3\right)\left(y-4\right)\le0\\\left(z-3\right)\left(z-4\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\frac{x^2+12}{7}\\y\ge\frac{y^2+12}{7}\\z\ge\frac{z^2+12}{7}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{x^2+y^2+z^2+36}{7}=10\)

\(S_{min}=10\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(3;3;4\right)\) và hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị

sai roi

Điểm rơi \(\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị.Ta UCT:)

Ta bất đẳng thức phụ:

\(\sqrt{7x+9}\ge x+3\) với \(0\le x\le1\)

\(\Leftrightarrow7x+9\ge x^2+6x+9\)

\(\Leftrightarrow7\ge x+6\)

\(\Leftrightarrow x\le1\left(true!!\right)\)

Khi đó ta có:

\(\sqrt{7a+9}\le a+3;\sqrt{7b+9}\le b+3;\sqrt{7c+9}\le c+3\)

\(\Rightarrow\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\le a+b+c+9=10\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=1;b=c=0\) và các hoán vị.

Hoặc có thể biến đổi theo cách này:

Do \(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow0\le a\le1\Rightarrow a^2\le a\)

Ta có:\(\sqrt{7a+9}=\sqrt{a+6a+9}\le\sqrt{a^2+6a+9}=\sqrt{\left(a+3\right)^2}=a+3\)

Tương tự:

\(\sqrt{7b+9}\le b+3;\sqrt{7c+9}\le c+3\)

\(\Rightarrow\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\le a+b+c+9=10\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=1;b=c=0\) và các hoán vị

PS:Hình như cách này hay hơn thì phải:v

Đặt `a=\sqrt{7x+9},b=\sqrt{7y+9},c=\sqrt{7z+9}`
`=>a^2+b^2+c^2=7(x+y+z)+27=34`
`=>a^2=34-a^2-b^2<=16`
`=>9<=a^2<=4`
`=>3<=a<=4`
`=>(a-3)(a-4)<=0`
`<=>a^2+12<=7a`
`=>a>=(a^2+12)/7)`
CMTT:`b>=(b^2)/(7)`
`c>=(c^2+12)/(7)`
`=>a+b+c>=(a^2+b^2+c^2+36)/(7)=10`
Dấu "=" `<=>(x,y,z)=(0,0,1)` và các hoán vị 
Bài này hơi phức tạp xíu 

Đặt `a=\sqrt{7x+9},b=\sqrt{7y+9},c=\sqrt{7z+9}`
`=>a^2+b^2+c^2=7(x+y+z)+27=34`
`=>a^2=34-a^2-b^2<=16`
`=>9<=a^2<=16`
`=>3<=a<=4`
`=>(a-3)(a-4)<=0`
`<=>a^2+12<=7a`
`=>a>=(a^2+12)/7)`
CMTT:`b>=(b^2)/(7)`
`c>=(c^2+12)/(7)`
`=>a+b+c>=(a^2+b^2+c^2+36)/(7)=10`
Dấu "=" `<=>(x,y,z)=(0,0,1)` và các hoán vị 
Bài này hơi phức tạp xíu 

Đặt `a=\sqrt{7x+9},b=\sqrt{7y+9},c=\sqrt{7z+9}`
`=>a^2+b^2+c^2=7(x+y+z)+27=34`
`=>a^2=34-a^2-b^2<=16`
`=>9<=a^2<=4`
`=>3<=a<=4`
`=>(a-3)(a-4)<=0`
`<=>a^2+12<=7a`
`=>a>=(a^2+12)/(7)`
CMTT:`b>=(b^2+12)/(7)`
`c>=(c^2+12)/(7)`
`=>a+b+c>=(a^2+b^2+c^2+36)/(7)=10`
Dấu "=" `<=>(x,y,z)=(0,0,1)` và các hoán vị 
Bài này hơi phức tạp xíu 

Lỗi tí thông cảm ._.

Bài này sửa đề thành \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\a+b+c=1\end{cases}}\) thì mới chặt chẽ để có thể giải được

Khi đó \(0\le a,b,c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{cases}}\)

Ta cần chứng minh: \(\sqrt{7a+9}\ge a+3\)

\(\Leftrightarrow7a+9\ge a^2+6a+9\)\(\Leftrightarrow a\ge a^2\) (luôn đúng)

Tương tự chứng minh được:

\(\sqrt{7b+9}\ge b+3\) và \(\sqrt{7c+9}\ge c+3\)

Khi đó:

\(S=\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\ge a+b+c+9=1+9=10\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=c=0\end{cases}}\) và các hoán vị của chúng

số thực ko âm nhé

\(a+b+c=1\Leftrightarrow a;b;c\le1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\)

\(=\sqrt{a+6a+9}+\sqrt{b+6b+9}+\sqrt{c+6c+9}\)

\(\ge\sqrt{a^2+6a+9}+\sqrt{b^2+6b+9}+\sqrt{c^2+6c+9}\)

\(=\sqrt{\left(a+3\right)^2}+\sqrt{\left(b+3\right)^2}+\sqrt{\left(c+3\right)^2}\)

\(=a+b+c+9=10\left(a;b;c\ge0\right)\)

\("="\Leftrightarrow\)a;b;c là hoán vị (0;0;1)

Với \(ab+bc+ca=1\) và a,b,c>0 ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a^2+1}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\\\sqrt{b^2+1}=\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\\\sqrt{c^2+1}=\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}\end{matrix}\right.\). Do đó:

\(\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}=a+b\)

Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{b^2+1}.\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}=b+c\) ; \(\dfrac{\sqrt{c^2+1}.\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}=c+a\)

\(\Rightarrow P=2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow P^2=4\left(a+b+c\right)^2\ge4.3\left(ab+bc+ca\right)=4.3.1=12\)

\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Vậy \(MinP=2\sqrt{3}\)