a: góc A=góc IFA=góc IEA=90 độ

=>AEIF là hcn

mà IF=IE

nên AEIF là hv

b: ΔABD vuông tại D

=>M là trung đuiểm của AB

ΔACD vuông tại D

=>N là trung điểm của AC

Xét ΔNAM và ΔNDM có

NA=ND

MA=MD

NM chung

=>ΔNAM=ΔNDM

=>góc NDM=góc NAM=90 độ

=>AMDN nội tiếp

+ ) Ta thấy ngay hai tam giác vuông AHC và ANC có chung cạnh huyền AC nên A, H, N, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.

\(\Rightarrow\widehat{HNA}=\widehat{HCA}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH)

Ta thấy ngay hai tam giác vuông AMB và AHB có chung cạnh huyền AB nên A, M, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB.

\(\Rightarrow\widehat{HMN}=\widehat{ABH}\) (Góc ngoài tại đỉnh đối diện bằng góc trong tại đỉnh)

Vậy nên \(\Delta ABC\sim\Delta HMN\left(g-g\right)\)

+) Ta có \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\)  (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Mà \(\Delta ABC\sim\Delta HMN\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{HMN}\) 

nên \(\widehat{ADC}=\widehat{HMN}\)

Chúng lại ở vị trí so le trong nên DC // HM

Ta có \(DC\perp AC\Rightarrow HM\perp AC\)

Gọi J là trung điểm AB

Ta có ngay IJ là đường trung bình tam giác ABC nên IJ // AC

Vậy nên \(HM\perp IJ\)

Mà J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHB nên IJ vuông góc cung HM tại trung điểm HM hay IJ là trung trực của HM.

Vậy thì IM = IH.

Tương tự ta có IM = IH = IN hay I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN.

ad dqi

4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) . Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.

Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên DN là trung trực của BC nên DN là phân giác  B D C ^

Ta có  K Q C ^ = 2 K M C ^  (góc nọi tiếp bằng nửa góc ở tâm trong dường tròn (Q))

N D C ^ = K M C ^  (góc nội tiếp cùng chắn cung  N C ⏜ )

Mà  B D C ^ = 2 N D C   ^ ⇒ K Q C ^ = B D C ^

Xét 2 tam giác BDC & KQC là các các tam giác vuông tại D và Q có hai góc ở  ⇒ B C D ^ = B C Q ^  do vậy D, Q, C thẳng hàng nên KQ//PK

Chứng minh tương tự ta có  ta có D, P, B thẳng hàng và DQ//PK

Do đó tứ giác PDQK là hình bình hành nên E là trung điểm của PQ cũng là trung điểm của DK. Vậy D, E, K thẳng hàng (điều phải chứng minh).