\(C=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2008^2}\)

\(< \frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{2007.2008}\)

\(=\frac{5-4}{4.5}+\frac{6-5}{5.6}+\frac{7-6}{6.7}+...+\frac{2008-2007}{2007.2008}\)

\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2006}-\frac{1}{2007}\)

\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{2007}< \frac{1}{4}\).

Gọi d là ƯC của 4n + 7 và 6n + 1

Khi đó : 4n + 7 chia hết cho d và 6n + 1 chia hết cho d

<=>   12n + 21 chia hết cho d và 12n + 2 chia hết cho d

=> (12n + 21) - ( 12n + 2) chia hết cho d = > 19 chia hết cho d

Vì 19 là số nguyên tố => d = 1

Vậy \(\frac{4n+7}{6n+1}\) Là p/s tối giản

Nếu n = 3 thì 4n+7/6n+1=1 đâu phải là phân số tối giản

 \(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{17}\)

\(=\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{10}\right)+\left(\dfrac{1}{11}+...+\dfrac{1}{17}\right)< \dfrac{1}{5}.6+\dfrac{1}{11}.7\)

\(=\dfrac{6}{5}+\dfrac{7}{11}\)

\(=\dfrac{101}{55}< 2\left(đpcm\right)\)

\(A>\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}}\)

\(\Rightarrow2A>\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}}\)

\(\Rightarrow2A>\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{2025}-\sqrt{2024}\)

\(\Rightarrow2A>\sqrt{2025}-\sqrt{1}=44\)

\(\Rightarrow A>22\) (đpcm)