Cho (O) và điểm K nằm ngoài (O). Kẻ các tiếp tuyến KA, KT với đường tròn. Một đường thẳng qua A cắt (O) tại B, cắt KT tại C sao B là trung điểm AC, KB cắt (O) tại N. CMR: NT//BC.
Bài 6: Cho điểm A nằm ngoài đuông tròn (O; R). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm) Qua B kẻ dây BE song song với AC. Cát tuyến AE cắt đuờng tròn (0) tai D (D nằm giữa A, E). Gọi F là trung điểm của
DE . a) Chứng minh rằng: năm điểm A, B, F, O, C cùng thuộc một đuờng tròn.
b) Tia BD cắt AC tại I. Chứng minh rằng: IC²= ID. IB và I là trung điểm của CA.
c) Tia BF cắt đường tròn (O) tại K (K # B). Gọi T là giao điểm của OA với (O) (T nằm giữa O và A), KT cắt BC tại H. Chứng minh rằng: TC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK.
(“*
Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm). Một đường thẳng (d) đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm D và E (d không đi qua tâm O, D nằm giữa A và E), gọi I là trung điểm của DE. BC cắt AE tại S. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt các đường thẳng BE, BD lần lượt tại M và N. CM: C là trung điểm MN.
Cho đường tròn tâm (O) và điểm K nằm ngoài đường tròn. Từ K kẻ các tiếp tuyến KA,KB đến (O). Một đường thẳng qua K cắt (O) tại C,D sao cho C nằm giữa K và D, đồng thời hai điểm O, A nằm khác phía so với CD. a) CM tứ giác OAKB nội tiếp và KA2= KC.KD b) Gọi M là giao điểm của đoạn OK và AB. CM góc KMC=KDO c) Kẻ đường kính AI của (O). Gọi G, N lần lượt là giao điểm của OK với các đoạn CI, DI. Chứng minh tứ giác AMND nội tiếp và OG=ON.
a: góc OAK+góc OBK=180 độ
=>OAKB nội tiếp
Xét ΔKAC và ΔKDA có
góc KAC=góc KDA
góc AKC chung
=>ΔKAC đồng dạng với ΔKDA
=>KA/KD=KC/KA
=>KA^2=KD*KC
b: Xét (O) có
KA,KB là tiếp tuyến
=>KA=KB
mà OA=OB
nên OK là trung trực của AB
=>OK vuông góc AB tại M
Xét ΔOAK vuông tại A có AM vuông góc OK
nên KM*KO=KA^2=KC*KD
=>KM/KD=KC/KO
=>ΔKMC đồng dạng với ΔKDO
=>góc KMC=góc KDO
cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC(B, C là tiếp điểm). Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) tại E. AE cắt (O) tại D, BD cắt AC tại M. CHứng minh M là trung điểm của AC
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC ( B,C là tiếp điểm ) . Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại 2 điểm D và E ( D nằm giữa A và E , dâu DE không đi qua tâm O ) . Gọi H là trung điểm DE , AE cắt BC tại K
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
b) Chứng minh AB2 =AE.AD
c)Chứng minh \(\dfrac{2}{AK}=\dfrac{1}{AD}+\dfrac{1}{AE}\)
Cho đường tròn (O) và điểm K nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ 2 tiếp tuyến KA,KB với đường tròn (O), A và B là các tiếp điểm. Từ kiểm K vẽ đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại 2 điểm C,D (KC < KD, d không đi qua tâm O.
1) C/m: tứ giác KAOB là tứ giác nội tiếp
2) Gọi giao điểm của đoạn AB với đoạn OK là M. C/m KA^3 = KC.KD = KM.KO
3) C/m: đường thẳng AB chứa tia phân giác của góc CMD
Cho đường tròn tâm (O) và điểm K nằm ngoài đường tròn. Từ K kẻ các tiếp tuyến KA,KB đến (O). Một đường thẳng qua K cắt (O) tại C,D sao cho C nằm giữa K và D, đồng thời hai điểm O, A nằm khác phía so với CD.
a) CM tứ giác OAKB nội tiếp và KA2= KC.KD
b) Gọi M là giao điểm của đoạn OK và AB. CM góc KMC=KDO
c) Kẻ đường kính AI của (O). Gọi G, N lần lượt là giao điểm của OK với các đoạn CI, DI. Chứng minh tứ giác AMND nội tiếp và OG=ON.
a: góc OAK+góc OBK=90+90=180 độ
=>OAKB nội tiếp
Xét ΔKAC và ΔKDA có
góc KAC=góc KDA
góc AKC chung
=>ΔKAC đồng dạng với ΔKDA
=>KA^2=KC*KD
b: Xét (O) có
KA,KB là tiếp tuyến
=>KA=KB
=>OK là trung trực của AB
=>KM*KO=KA^2=KC*KD
=>KM/KD=KC/KO
=>ΔKMC đồng dạng với ΔKDO
=>góc KMC=góc KDO
Cho đường tròn (O) và điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến KA,KB với đường tròn (O), A và B là các tiếp điểm. Từ điểm K vẽ đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm C,D (KC <KD, d không đi qua tâm O).
1) Chứng minh tứ giác KAOB là tứ giác nội tiếp.
2) Gọi giao điểm của đoạn thẳng AB với đoạn thẳng OK là M. Chứng minh KA²=KC.KD =KM.KO.
3) Chứng minh đường thẳng AB chứa tia phân giác của CMD
1: Xét tứ giác KAOB có \(\widehat{KAO}+\widehat{KBO}=90^0+90^0=180^0\)
nên KAOB là tứ giác nội tiếp
2: Xét (O) có
\(\widehat{KAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AK và dây cung AC
\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{KAC}=\widehat{ADC}\)
Xét ΔKAC và ΔKDA có
\(\widehat{KAC}=\widehat{KDA}\)
\(\widehat{AKC}\) chung
Do đó: ΔKAC đồng dạng với ΔKDA
=>\(\dfrac{KA}{KD}=\dfrac{KC}{KA}\)
=>\(KA^2=KC\cdot KD\)
Xét (O) có
KA,KB là các tiếp tuyến
Do đó: KA=KB
=>K nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra OK là đường trung trực của AB
=>OK\(\perp\)AB tại M và M là trung điểm của AB
Xét ΔOAK vuông tại A có AM là đường cao
nên \(KM\cdot KO=KA^2\)
=>\(KA^2=KM\cdot KO=KC\cdot KD\)
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) với B, C là các tiếp điểm. Kẻ một đường thẳng d nằm giữa hai tia AB, AO và đi qua A cắt đường tròn (O) tại E, F (E nằm giữa A, F).
1. Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.2. Gọi H là giao điểm của AD và BC. Chứng minh OH.OA = OE^2.3. Đường thẳng qua O vuông góc với EF cắt BC tại E. Chứng minh SF là tiếp tuyến của đường tròn (O).4. Đường thẳng SF cắt các đường thẳng AB và AC tương ứng tại P và Q. Đường thẳng OF cắt BC tại K. Chứng minh rằng AK đi qua trung điểm của PQ.