(Thử sức với phương pháp \(p,q,r\) xem nào!)

Đặt \(p=x+y+z,q=xy+yz+zx,r=xyz\).

Khi đó \(p^2-2q=1\) nên \(q=\frac{p^2-1}{2}\).

Biểu thức cần tìm max là \(S=x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)

Viết lại dưới dạng \(S=p\left(1-q\right)=p-\frac{p\left(p^2-1\right)}{2}=-\frac{p^3}{2}+\frac{3p}{2}\)

-----

Nếu có thêm giả thiết \(x,y,z\) không âm thì:

\(2S=-\left(p^3-3p\right)=-\left(p-1\right)^2\left(p+2\right)+2\le2\) và đẳng thức xảy ra tại \(p=1\).

Nếu ko có giả thiết \(x,y,z\) không âm thì xin thưa là đề sai.

Em nghĩ là có kể cả khi không giả thiết x,y,z không âm

Đã ra đáp số

GTLN: P =2

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ , tìm GTLN $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

Đáp án:

$P=\pm 36$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

x2+y2+z2=16xy−yz+zx=−10⇒(x2+y2+z2)−2.(xy−yz+zx)=16−2.(−10)⇔x2+y2+z2−2xy+2yz−2zx=36⇔(x2−2xy+y2)+z2+2yz−2zx=36⇔(x−y)2+2z(y−x)+z2=36⇔(x−y)2−2.(x−y).z+z2=36⇔(x−y−z)2=36⇔x−y−z=±6P=x3−y3−z3−3xyz=(x3−3x2y+3xy2−y3)−z3+3x2y−3xy2−3xyz=(x−y)3−z3+3x2y−3xy2−3xyz=[(x−y)−z].[(x−y)2+(x−y).z+z2]+3xy(x−y−z)=(x−y−z).(x2−2xy+y2+xz−yz+z2+3xy)=(x−y−z).(x2+y2+z2+xy−yz+zx)Trường hợp 1: x−y−z=6⇒P=6.(16+(−10))=36Trường hợp 2: x−y−z=−6⇒P=(−6).(16+(−10))=−36x2+y2+z2=16xy−yz+zx=−10⇒(x2+y2+z2)−2.(xy−yz+zx)=16−2.(−10)⇔x2+y2+z2−2xy+2yz−2zx=36⇔(x2−2xy+y2)+z2+2yz−2zx=36⇔(x−y)2+2z(y−x)+z2=36⇔(x−y)2−2.(x−y).z+z2=36⇔(x−y−z)2=36⇔x−y−z=±6P=x3−y3−z3−3xyz=(x3−3x2y+3xy2−y3)−z3+3x2y−3xy2−3xyz=(x−y)3−z3+3x2y−3xy2−3xyz=[(x−y)−z].[(x−y)2+(x−y).z+z2]+3xy(x−y−z)=(x−y−z).(x2−2xy+y2+xz−yz+z2+3xy)=(x−y−z).(x2+y2+z2+xy−yz+zx)Trường hợp 1: x−y−z=6⇒P=6.(16+(−10))=36Trường hợp 2: x−y−z=−6⇒P=(−6).(16+(−10))=−36

Vậy $P=\pm 36$.

MÌNH CHỈ BIẾT LÀM B7 THÔI NHA

P= 811^3+ 812^3+815^3+3.811.812.(-815)=  31694

K ĐÚNG HỘ TỚ NHA

???

???

???

???

x^3+y^3+z^3-3xyz=1/2(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]

2 cái bằng nhau

Chứng minh hộ tui phát

Ta có (a + b + c)³ =  a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3a²c + 3b²a + 3b²c + 3c²a + 3c²b + 6abc

=> VT = (a + b + c)³ - (3a²b + 3a²c + 3b²a + 3b²c + 3c²a + 3c²b + 9abc)

= (a + b + c)³ - (3a²b + 3b²a + abc) - (3a²c + 3c²a + 3abc) - (3b²c + 3c²b + 3abc)

= (a + b + c)[a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc) - 3(ab + bc + ac)]

= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ac)

VP = \(\frac{1}{2}\)(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]

= \(\frac{1}{2}\)(x+y+z)(2x² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ac)

= (x+y+z)(x² + b² + c² - ab - bc - ac)

Từ đó => VT=VP

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương a,b,c:

\(x^3+1+1\ge3\sqrt[3]{x^3.1.1}=3x\left(1\right)\)

Hoàn toàn tương tự, ta đc: \(y^3+1+1\ge3y\left(2\right)\)

Và: \(z^3+1+1\ge3z\left(3\right)\)

Cộng (1)(2)(3) VTV: \(Q+6\ge3\left(x+y+x\right)=3.3=9\)

\(\Leftrightarrow Q\ge9-6=3\Rightarrow Q_{Min}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Bạn nên viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người hiểu đề của bạn hơn nhé.