\(\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{8.9.10}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}\right)+\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}\right)+...+\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{8.9}-\frac{1}{9.10}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{8.9}-\frac{1}{9.10}\right)\)

\(\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{9.10}\right)=\frac{1}{2}.\frac{22}{45}=\frac{11}{45}\)

Đây là tổng của 2 dãy:

\(\frac{1}{1\times3\times5}+\frac{1}{3\times5\times7}+\frac{1}{5\times7\times9}+...+\frac{1}{995\times997\times999}\)(1)

và 

\(\frac{1}{2\times5\times8}+\frac{1}{5\times8\times11}+\frac{1}{8\times11\times14}+...+\frac{1}{1493\times1496\times1499}\)(2)

Dãy số có dạng là tích 3 thừa số, trong đó thừa số thứ 3 hơn thừa số thứ nhất n đơn vị và 2 thừa số cuối của phân số trước là 2 thừa số đầu của phân số sau. Để tính dãy kiểu này cần đưa tử số về hiệu của thừa số thứ 3 và thừa số thứ nhất (hiệu = n):

Vậy nhân dãy thứ nhất với 4:

\(=\frac{4}{1\times3\times5}+\frac{4}{3\times5\times7}+\frac{4}{5\times7\times9}+...+\frac{4}{995\times997\times999}\)

Nhận xét:

Vậy 4 lần tổng dãy 1 là:

\(\frac{1}{1\times3}-\frac{1}{3\times5}+\frac{1}{3\times5}-\frac{1}{5\times7}+...+\frac{1}{995\times997}-\frac{1}{997\times999}\)

\(\frac{1}{1\times3}-\frac{1}{997\times999}\)

Suy ra tổng dãy (1) là \(\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{997\times999}\right)\times\frac{1}{4}\)

Làm tương tự tính được tổng dãy (2) là: \(\left(\frac{1}{2\times5}-\frac{1}{1496\times1499}\right)\times\frac{1}{6}\)

Cộng 2 kết quả lại được tổng cần tính

\(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{91.93}\)

\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+...+\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{91}-\frac{1}{93}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{91}-\frac{1}{93}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{93}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{92}{93}\)

\(=\frac{46}{93}\)

\(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{91.93}\)

\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{91}-\frac{1}{93}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{93}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{92}{93}\)

\(=\frac{46}{93}\)

lie

Đặt \(A=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{3.5.7}+...+\frac{1}{45.47.49}\)

\(\Rightarrow4A=\frac{4}{1.3.5}+\frac{4}{3.5.7}+...+\frac{4}{45.47.49}\)

\(=\frac{1}{1.3}-\frac{1}{3.5}+\frac{1}{3.5}-\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{45.47}-\frac{1}{47.49}\)

\(=\frac{1}{3}-\frac{1}{47.49}\)

\(\Rightarrow A=\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{47.49}}{4}=\frac{575}{6909}\)

=1/2 x ( 1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/2013-1/2015)

=1/2 x ( 1-1/2015 )

=1/2 x 2014/2015

=1007/2015

Ta có:\(A=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{2009.2011}\)

\(2A=2.\left(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{2009.2011}\right)=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+...+\frac{2}{2009.2011}\)

\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2011}\)

\(=1-\frac{1}{2011}=\frac{2010}{2011}\)

=>\(A=\frac{2010}{2011}:2=\frac{2010}{2011}.\frac{1}{2}=\frac{1005}{2011}\)

Cho mk sửa lại đáp án là \(\frac{100}{201}\)nha bn

Ta có: \(N=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{199.201}\)

\(\Rightarrow2N=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+...+\frac{2}{199.201}\)

\(\Rightarrow2N=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{201}\)

\(\Rightarrow2N=\frac{1}{1}-\frac{1}{201}\)

\(\Rightarrow2N=\frac{200}{201}\)

\(\Rightarrow N=\frac{200}{201}:2=\frac{100}{101}\)

tk cho mk nha bn

Có thể làm theo cách của bạn nhi.  Nhưng kết quả là 100/201 . Bắt đầu từ đoạn 2N . Bạn có thể làm thế này : 

( 2/1x3 + 2/3x5 + 2/5x7 + ... + 2/199x201 ) : 2 

= ( 1/1 - 1/3 + 1/3 - 1/5 + 1/5 - 1/7 + .... + 1/199 - 1/201 ) : 2

= ( 1/1 - 1/201 ) : 2 

= 200/201 : 2

= 100/201

OK rồi nhé! 

Đặt \(A=\frac{1}{1x3}+\frac{1}{3x5}+\frac{1}{5x7}+...+\frac{1}{17x19}\)

=>\(2xA=2x\left(\frac{1}{1x3}+\frac{1}{3x5}+\frac{1}{5x7}+...+\frac{1}{17x19}\right)\)

=>\(2xA=\frac{2}{1x3}+\frac{2}{3x5}+\frac{2}{5x7}+...+\frac{2}{17x19}\)

=>\(2xA=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{17}-\frac{1}{19}\)

=>\(2xA=1-\frac{1}{19}=\frac{18}{19}\)

=>\(A=\frac{18}{19}:2=\frac{9}{19}\)

(\(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\left(\right)+\left(\right)\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\left(\right)+\left(\right)\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\left(\right)+....+\left(\right)\frac{1}{17}-\frac{1}{19}\left(\right)\)\(\frac{1}{19}\)

\(\frac{1}{1}+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{5}\right)+....+\left(\frac{1}{17}-\frac{1}{17}\right)-\frac{1}{19}\)

\(\frac{1}{1}-\frac{1}{19}=\frac{18}{19}\)

=2x(\(\frac{1}{1\times3}+\)\(\frac{1}{3\times5}+\)\(\frac{1}{5\times7}+\)..........+\(\frac{1}{17\times19}\))

=\(\frac{2}{1\times3}+\)\(\frac{2}{3\times5}+\)\(\frac{2}{5\times7}+\)............+\(\frac{2}{17\times19}\)

=\(\frac{1}{1}-\)\(\frac{1}{3}+\)\(\frac{1}{3}-\)\(\frac{1}{5}+\)\(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\)\(+\)..........\(+\)\(\frac{1}{17}-\frac{1}{19}\)

=\(\frac{1}{1}-\frac{1}{19}\)

=\(\frac{19}{19}-\frac{1}{19}\)

=\(\frac{18}{19}\)

\(\frac{1}{1\times3}\) \(+\) \(\frac{1}{3\times5}\) \(+\) \(\frac{1}{5\times7}\) \(+\) \(...\) \(\frac{1}{19\times21}\)

\(=\) \(\frac{943}{1995}\)

A=1-1 phần 2 +1 phần 2 -1 phần 3.... + 1phan19 - 1 phần 21

A= 1- 1 phần 21

A= 20 phần 21

A x 2 = \(\frac{1}{1}\)-\(\frac{1}{1}\)+\(\frac{1}{3}\)-.........- \(\frac{1}{19}\)+\(\frac{1}{21}\)

A x 2 = \(\frac{1}{1}\)- \(\frac{1}{21}\)= \(\frac{20}{21}\)

A= \(\frac{20}{21}\): 2 = \(\frac{10}{21}\)