Giả sử rằng trong 44 số đã cho, không có hai số nào bằng nhau . Vai trò các số này bình đẳng nên ta giả sử \(a_1< a_2< ...< a_{44}\). Vì a₁ , a₂ ,..., a₄₄ là các số nguyên dương nên ta có thể gọi \(a_1\ge2\), \(a_2\ge3\).... , \(a_{44}\ge45\)(Dễ thấy \(a_1=1\)thì không tồn tại các giá trị \(a_j\) \(\left(j=2,3,...,44\right)\)thỏa mãn đề bài)

Khi đó : \(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}\le\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{45^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{44.45}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{44}-\frac{1}{45}=1-\frac{1}{45}< 1\)

Như vậy đẳng thức không xảy ra (vô lí) => điều giả sử sai. 

Vậy trong 44 số đã cho tồn tại 2 số bằng nhau. (đpcm)

Tham khảo cách làm và đề sau:

Cho 2015 số nguyên dương a1;a2;...;a2016 thỏa mãn 

\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+....+\frac{1}{a_{2016}}=300\)

CMR:tồn tại ít nhất 2 số đã cho bằng nhau.

Giải 

Giả sử trong 2016 sô đã cho ko có 2 số nào bằng nhau,ko mất tính tổng quát giả sử a1<a2<....<a2016 

Vì a1,a2,....,a2016 đều là số nguyên dương nên ta suy ra \(a_1\ge1;a_2\ge2;...;a_{2016}\ge2016\)

Suy ra \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2016}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}\)

\(=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+...+\left(\frac{1}{1024}+\frac{1}{1025}+....+\frac{1}{2016}\right)\)

\(< 1+\frac{1}{2}\cdot2+\frac{1}{2^2}\cdot2^2+...+\frac{1}{2^{10}}\cdot2^{10}=11< 30\)

Mâu thuẫn vs gt ->Giả sử sai

=>Trong 2016 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau

Bạn Vongola Famiglia đã đưa gợi ý bằng 1 bài gần giống. Cho phép mình hỏi ( Đọc rồi xem vấn đề của mình )

Giả sử trong 44 số này không có 2 số nào bằng nhau. Coi \(a_1< a_2< ...< a_{43}< a_{44}\)

\(\Rightarrow a_1^2< a_2^2< ...< a_{43}^2< a_{44}^2\)

Mà \(a_1^2;a_2^2;...;a_{44}^2\in N\)* nên \(a_1^2\ge1;a_2^2\ge2^2;...;a_{44}^2\ge44^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_{43}^2}+\frac{1}{a_{44}^2}\le1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{44^2}\)

Đến đây không tìm được. Bạn giúp mình với .

Ta có \(A=\overset{2n}{11...1}+\overset{n}{44...4}+1\)

\(A=\dfrac{1}{9}.\overset{2n}{99...9}+\dfrac{4}{9}.\overset{n}{99...9}+1\)

\(A=\dfrac{1}{9}\left(10^{2n}-1\right)+\dfrac{4}{9}\left(10^n-1\right)+1\)

\(A=\dfrac{10^{2n}-1+4.10^n-4+9}{9}\)

\(A=\dfrac{\left(10^n\right)^2+4.10^n+4}{9}\)

\(A=\left(\dfrac{10^n+2}{3}\right)^2\) 

 Dễ thấy \(10^n+2⋮3\) vì có tổng các chữ số là 3 nên \(\dfrac{10^n+2}{3}\inℕ^∗\). Vậy A là số chính phương (đpcm)

\(\dfrac{7}{16}+\dfrac{-1}{8}+\dfrac{9}{32}=\dfrac{14}{32}-\dfrac{4}{32}+\dfrac{9}{32}=\dfrac{19}{32}\)

\(\dfrac{5}{4}-\dfrac{25}{30}\times\dfrac{37}{44}+\dfrac{-25}{30}\times\dfrac{13}{44}+\dfrac{-25}{30}\times\dfrac{-6}{44}\)

\(=-\dfrac{25}{30}\times\left(\dfrac{5}{4}+\dfrac{37}{44}+\dfrac{13}{44}-\dfrac{6}{44}\right)\)

\(=-\dfrac{25}{30}\times\left(\dfrac{55}{44}+\dfrac{37}{44}+\dfrac{13}{44}-\dfrac{6}{44}\right)\)

\(=-\dfrac{25}{30}\times\dfrac{99}{44}\)

\(=-\dfrac{5}{6}\times\dfrac{9}{4}\)

\(=-\dfrac{15}{8}\)

\(\left(\dfrac{7}{16}+\dfrac{-1}{8}+\dfrac{9}{32}\right):\dfrac{5}{4}\)

\(=\left(\dfrac{14}{32}+\dfrac{-4}{32}+\dfrac{9}{32}\right):\dfrac{5}{4}\)

\(=\dfrac{19}{32}:\dfrac{5}{4}\)

\(=\dfrac{19}{32}.\dfrac{4}{5}=\dfrac{19.4}{32.5}=\dfrac{19}{40}\)

\(\dfrac{-25}{30}.\dfrac{37}{44}+\dfrac{-25}{30}.\dfrac{13}{44}+\dfrac{-25}{30}.\dfrac{-6}{44}\)

\(=\dfrac{-25}{30}.\left(\dfrac{37}{44}+\dfrac{13}{44}+\dfrac{-6}{44}\right)\)

\(=\dfrac{-25}{30}.\dfrac{44}{44}=\dfrac{-5}{6}.1=-\dfrac{5}{6}\)

Tớ hướng dẫn câu A thui, mấy câu còn lại làm tương tự

A = 9 + 99 + 999 + ... + 99...9(10 chữ số 9)

Ta để ý: 9 = 10¹ - 1

              99 = 10² - 1 

              999 = 10³ - 1

..... 

99..9(10 chữ số 9) = 10¹⁰ - 1

Công thức tổng quát: \(\overline{aa...aa}=\frac{a}{9}\left(10^n-1\right)\) với n là số chữ số của aa..aa

Suy ra tổng A = 10¹ + 10² + 10³ + ... + 10¹⁰ - 10

=> A = 11111111110 - 10 = 111111111100

B,C làm tương tự với công thức tổng quát

1+1*1+2=1+1+2=4

4+4+4+4+4+44------

142+555

BHNHMKKJH,JKFFFGERRGTGJH

=307/990