cho \(x^2+y^2+z^2=1\)
tìm gtln của : \(x^3+y^3+z^3-3xyz\)
Cho \(x,y,z\in R\)và \(x^2+y^2+z^2=1\)Tìm GTLN của \(P=x^3+y^3+z^3-3xyz\)
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ , tìm GTLN $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
x^2+y^2+z^2=3
Tìm GTNN, GTLN
P=\(x^3+y^3+z^3-3xyz\)
cho 3 số không âm x,y,z sao cho x+y+z=1. tìm GTLN của:
xy+yz+zx-3xyz
Cho x,y,z>0 và x+y+z=3xyz . Tìm MaxP = \(\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{3}{z^2}\)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=3\)
\(P=3a^2+b^2+3c^2\)
Biểu thức này chỉ có min, không có max
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: x+y+z=3. Tìm GTLN của P=1/x^2+y+z + 1/y^2+x+z + 1/z^2+x+y
Chứng minh
x^3+y^3+z^3-3xyz=1/2(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]
x^3+y^3+z^3-3xyz=1/2(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]
2 cái bằng nhau
Ta có (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc
=> VT = (a + b + c)3 - (3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 9abc)
= (a + b + c)3 - (3a2b + 3b2a + abc) - (3a2c + 3c2a + 3abc) - (3b2c + 3c2b + 3abc)
= (a + b + c)[a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) - 3(ab + bc + ac)]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)
VP = \(\frac{1}{2}\)(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]
= \(\frac{1}{2}\)(x+y+z)(2x2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ac)
= (x+y+z)(x2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)
Từ đó => VT=VP
Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=3
Tìm GTLN của \(T=\frac{x}{x^3+y^2+z}+\frac{y}{y^3+z^2+x}+\frac{z}{z^3+x^2+y}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
\(\frac{x}{x^3+y^2+z}=\frac{x\left(\frac{1}{x}+1+z\right)}{\left(x^3+y^2+z\right)\left(\frac{1}{x}+1+z\right)}\le\frac{1+x+xz}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{1+x+xz}{9}\)
Tương tự rồi cộng lại ta được:
\(T\le\frac{3+x+y+z+xy+yz+zx}{9}=\frac{6+xy+yz+zx}{9}\le\frac{6+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{9}=1\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)
cho 3 số thực x,y,z sao cho x+y+z=1 CMR
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac{1}{2}\left(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right)\)
VT=\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y\right)^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy.\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right).z+z^2-3xy\left(\text{vì }x+y+z=1\right)\)
\(=x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^3-3xy\)
\(=x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\)
\(=\frac{1}{2}.\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left[\left(x^2-2xy-y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}.\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\)=VP
=>dpcm
Ta có : \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz\)
\(=x+y+z\left(x^2+y^2+z^2+2xy+xz+yz\right)-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)
\(=x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2xz+x^2\right)}{2}=\frac{1}{2}\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\)
Cho x,y,z là số thực dương khác 0 thoả mãn (1/x+1/y+1/z)^2=1/x^2+1/y^2+1/z^2
Chứng minh rằng x^3+y^3+z^3=3xyz
ta co: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}.\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=0\)
=> x + y + z = 0
Lai co: x3 + y3 +z3 - 3xyz = (x+y+z).(x2+y2+z2 - xy - yz - zx)
x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
=> x3 + y3 + z3 = 3xyz
ta co: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}.\)
=> 1/xy + 1/yz + 1/xz = 0
=> x + y + z = 0
Lai co: x3 + y3 +z3 - 3xyz = (x+y+z).(x2+y2+z2 - xy - yz - zx)
x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
=> x3 + y3 + z3 = 3xyz