CMR:a^2/(b^2+c^2)+b^2/(a^2+c^2)
+c^2/(a^2+b^2)≥a/(b+c)+b/(a+c)
+c/(b+a) biết a,b,c là các số thực dương
1.cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn a^3 /(a^2+b^2) + b^3/(b^2+c^2) + c^3/(c^2+a^2) >= (a+b+c)/2
2.cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn (a^3 +b^3+c^3)/2abc + (a^2+ b^2)/c^2 + (b^2+c^2)/(a^2+bc) + (c^2+a^2)/b^2+ac) >= 9/2
Cho a;b;c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn : a+b+c=3
a) \(CMR:a^2+b^2+c^2\ge ab^2+bc^2+ca^2\)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của : \(P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ac}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
a)\(a^2+b^2+c^2\ge ab^2+bc^2+ca^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge3\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a-2\left(ab^2+a^2c+bc^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c^2a-2ca^2+a^3\right)+\left(a^2b-2ab^2+b^3\right)+\left(b^2c-2bc^2+c^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(c^2-2ca+a^2\right)+b\left(a^2-2ab+b^2\right)+c\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(c-a\right)^2+b\left(a-b\right)^2+c\left(b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" <=>a=b=c=1
Câu b để sau đi trời nóng mà máy gõ mãi ko xong 1 dòng chán quá
CMR vs a,b,c là các số thực dương thì a^2/(b^2+c^2)+b^2/(c^2+a^2)+c^2/a^2+b^2>=a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)
cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa mãn :\(a^2+c^2=b^2+d^2\)CMR:a+b+c+d là hợp số
\(a^2+c^2+2ac+2bd=b^2+d^2+2ac+2bd\)
\(\left(a+c\right)^2-\left(b+d\right)^2=2\left(ac-bd\right)\)
\(\left(a+c+b+d\right)\left(a+c-b-d\right)=2\left(ac-bd\right)\)
Nếu ac =bd => a+c =b+d => a+c+b+d = 2(a +c) => là hợp số
Nếu ac -bd khác 0 => ?????????????????
với \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\),CMR
\(\dfrac{a^2}{a+b^2}+\dfrac{b^2}{b+c^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)
Lời giải:
$\text{VT}=\sum \frac{a^2}{a+b^2}=\sum (a-\frac{ab^2}{a+b^2})$
$=\sum a-\sum \frac{ab^2}{a+b^2}$
$\geq \sum a-\sum \frac{ab^2}{2b\sqrt{a}}$ (theo BĐT AM-GM)
$=\sum a-\frac{1}{2}\sum \sqrt{ab^2}$
$\geq \sum a-\frac{1}{2}\sum \frac{ab+b}{2}$ (AM-GM)
$=\frac{3}{4}\sum a-\frac{1}{4}\sum ab$
Giờ ta chỉ cần cm $\sum a\geq \sum ab$ là bài toán được giải quyết
Thật vậy:
Đặt $\sum ab=t$ thì hiển nhiên $0< t\leq 3$ theo BĐT AM-GM
$(\sum a)^2-(\sum ab)^2=3+2t-t^2=(3-t)(t+1)\geq 0$ với mọi $0< t\leq 3$
$\Rightarrow \sum a\geq \sum ab$
Vậy ta có đcpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
cho a;b;c là các số thực dương. CMR (a^2/b+c) + (b^2/c+a) + (c^2/a+b) >= (a+b+c)/2 ?
Áp dụng bđt Svacxơ ta có : VT >= (a+b+c)^2/(2a+2b+2c) = (a+b+c)/2 = VP
=> đpcm
Các Ctv hoặc các giáo viên helpp ạ
Cho a,b,c là số thực dương không âm thỏa mãn
Cho a,b,c là số thực dương không âm thỏa mãn \(a+b+c=1\) . Chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}>10\)
với a,b là các số thực dương cmr \(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}>=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\)
Ta có: \(\dfrac{a^2}{b^2}+1\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{b^2}}=\dfrac{2a}{b}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^2}{c^2}+1\ge\dfrac{2b}{c}\) ; \(\dfrac{c^2}{a^2}+1\ge\dfrac{2c}{a}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+3\ge\dfrac{2a}{b}+\dfrac{2b}{c}+\dfrac{2c}{a}\) (1)
Mà \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}}=3\)
\(\Rightarrow\dfrac{2a}{b}+\dfrac{2b}{c}+\dfrac{2c}{a}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+3\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+3\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+3\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa mãn :\(a^2+b^2=b^2+d^2.CMR:a+b+c+d\)là hợp số
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm GTNN của biểu thức
S=\(\dfrac{a^2+b^2+2}{a+b-ab}+\dfrac{a^2+c^2+2}{a+c-ac}+\dfrac{c^2+b^2+2}{c+b-bc}\)