Câu hỏi của Hoàng Đức Thịnh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Lời giải:

Đặt 

Khi đó, điều kiện đb tương đương với:

Do đó ta có đpcm

Lời giải:

Đặt 

Khi đó, điều kiện đb tương đương với:

Do đó ta có đpcm

Hình như đề sai ,  giả sử a = b = c = 0

=> vế trái bằng 0 , vé phải bằng 24

\(\left(3a+b-c\right)^3+\left(3b+c-a\right)^3+\left(3c+a-b\right)^3+24\)
\(=24+27a^3+27b^3+27c^3+3\left(\left(3a+b\right)\left(3a-c\right)\left(b-c\right)+\left(3b+c\right)\left(3b-a\right)\left(c-a\right)+\left(3c+a\right)\left(3c-b\right)\left(a-b\right)\right)\)\(\left(3a+3b+3c\right)^3=27a^3+27b^3+27c^3+81\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow8+A=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Có lẻ như đề sai ,

 giả sử a = b = c = 0

=> vế trái bằng 0 ,

vế phải bằng 24

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}3a+b-c=x\\3b+c-a=y\\3c+a-b=z\end{matrix}\right.\)

Khi đó điều kiện đb tương ứng

\(\left(x+y+z\right)^3=24+x^3+y^3+z^3\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(x+z\right)=24\)

\(\Rightarrow3\left(2a+4b\right)\left(2b+4c\right)\left(2c+4a\right)=24\)

\(\Rightarrow\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)\left(c+2a\right)=1\)

Do đó ta có \(đpcm\)

Chúc bạn học tốt!

Lời giải:
Đặt \((3a+b-c,3b+c-a,3c+a-b)=(x,y,z)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3a+3b+3c=x+y+z\\ a+2b=\frac{x+y}{2}\\ b+2c=\frac{y+z}{2}\\ c+2a=\frac{x+z}{2}\end{matrix}\right.\)

Bài toán trở thành:

Với các số thực $x,y,z$ thỏa mãn \((x+y+z)^3=24+x^3+y^3+z^3\)

CMR: \((x+y)(y+z)(x+z)=8\)

------------------------------------------------

Áp dụng HĐT \(m^3+n^3=(m+n)^3-3mn(m+n)\) ta có:

\((x+y+z)^3=24+x^3+y^3+z^3\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)^3=24+(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)^3=24+(x+y+z)^3-3xy(x+y)-3z(x+y)(x+y+z)\)

\(\Leftrightarrow 3(x+y)[z(x+y+z)+xy]=24\)

\(\Leftrightarrow (x+y)[z(y+z)+x(z+y)]=8\)

\(\Leftrightarrow (x+y)(z+x)(z+y)=8\) (đpcm)

Lời giải:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} 3a+b-c=x\\ 3b+c-a=y\\ 3c+a-b=z\end{matrix}\right.\)

Khi đó, điều kiện đb tương đương với:

\((x+y+z)^3=24+x^3+y^3+z^3\Leftrightarrow 3(x+y)(y+z)(x+z)=24\)

\(\Leftrightarrow 3(2a+4b)(2b+4c)(2c+4a)=24\)

\(\Leftrightarrow (a+2b)(b+2c)(c+2a)=1\)

Do đó ta có đpcm.