\(\widehat{I_1}=\widehat{B_2}\)(2 góc slt của DE // BC) mà\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)(BI là phân giác góc ABC)\(\Rightarrow\widehat{I_1}=\widehat{B_1}\Rightarrow\Delta BDI\)cân tại D => BD = DI

\(\widehat{I_2}=\widehat{C_2}\)(2 góc slt của DE // BC) mà\(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)(CI là phân giác góc ACB)\(\Rightarrow\widehat{I_2}=\widehat{C_1}\Rightarrow\Delta IEC\)cân tại E => IE = EC

Vậy DE = DI + IE = BD + CE (đpcm)

Vì DE song song với BC => \(\widehat{DIB}=\widehat{IBC}\) ( SLT) . Mà \(\widehat{IBC}=\widehat{DBI}\) ( BI là p/g của \(\widehat{ABC}\) ) => \(\widehat{DIB}=\widehat{DBI}\) theo định lý => tam giác DIB cân tại D => DB = DI 

Vì DE song song với BC => \(\widehat{EIC}=\widehat{ICB}\)( SLT) .Mà \(\widehat{ECI}=\widehat{ICB}\) ( CI là p/g của \(\widehat{ECB}\) ) => \(\widehat{EIC}=\widehat{ECI}\) .Theo định lý => tam giác IEC cân tại E => EI = EC

Vì DE = DI + IE . Mà DI = DB ; IE = EC => DE = DB + CE

Vậy DE = DB + CE

Kẻ CI giao AB tại H, BI giao AC tại K

Ta có góc HIB = IBC + ICB (góc ngoài tam giác), DE // BC => HID = ICB

=> DIB = IBC mà BI là phân giác nên DBI = IBC => DIB = DBI => tam giác BDI cân tại D => DB = DI

Tương tự, ta có góc KIC = IBC + ICB (góc ngoài tam giác), DE // BC => KIE = IBC

=> EIC = ICB mà CI là phân giác nên ECI = ICB => EIC = ECI => tam giác CEI cân tại E => CE = EI

Ta có: DE = DI + IE mà DI = DB, IE = CE => DE = DB + CE => chứng minh được DE = BD + CE 

phai ke hinh chu

Vẽ hình rồi mình giải cho

Ta có: DI // BC (giả thiết)

Suy ra:∠I1 =∠B1(so le trong) (1)

Lại có:∠B1 =∠B2 (2)

(vì BI là tia phân giác góc ABC)

Từ (1) và (2) suy ra:∠I1 =∠B2

=>∆BDI cân tại D =>BD=DI (3)

Mà IE // BC (gt) => ∠I2 =∠C1 (so le trong) (4)

Đồng thời: ∠C1=∠C2 (vì CI là phân giác của góc ACB) (5)

Từ (4) và (5) suy ra: ∠I2=∠C2. Suy ra ∠CEI cân tại E

Suy ra: CE = EI (6)

Từ (3) và (6) suy ra: BD + CE = DI + EI = DE

a: Xét ΔBDI có \(\widehat{DIB}=\widehat{DBI}\left(=\widehat{IBC}\right)\)

nên ΔBDI cân tại D

b: Xét ΔEIC có \(\widehat{EIC}=\widehat{ECI}\)

nên ΔEIC cân tại E

Ta có: DE=DI+IE

nên DE=BD+EC

Ta có : góc DBI = góc IBC ( vì BI là tia phân giác của góc ABC )

           góc DIB = góc IBC ( so le trong do DE // BC)

\(\Rightarrow\) góc DBI = góc DIB 

\(\Rightarrow\Delta BDI\)cân tại D

\(\Rightarrow BD=DI\left(1\right)\)

Và ta lại có: góc ECI = góc ICB ( vì CI là tia phân giác của góc ACB)

                  góc EIC = góc ICB ( so le trong do DE// BC)

\(\Rightarrow\Delta CEI\) cân tại E

\(\Rightarrow CE=EI\left(2\right)\)

\(Mà:DI+EI=DE\left(I\in DE\right)\)

\(Hay:BD+CE=DE\left(từ1\&2\right)\)

\(\Rightarrowđpcm\)