f(0) = c  là số nguyên

f(1) = a + b + c là số nguyên => a + b là số nguyên

f(2) = 4a + 2b + c = 2(a+b) + 2a +c là số nguyên => 2a là số nguyên

Ta có f(0)=a.0²+b.0+c=c

=> c là số nguyên

f(1)=a.1²+b.1+c=a+b+c=(a+b)+c

Vì c là số nguyên nên a+b là số nguyên (1)

f(2)=a.2²+b.2+c=2(2a+b)+c

=>2.(2a+b) là số nguyên

=> 2a+b là số nguyên (2)

Từ (1) và (2) =>(2a+b)-(a+b) là số nguyên  =>a là số nguyên  => b cũng là số nguyên

Vậy f(x) luôn nhân giá trị nguyên với mọi x

Ta có f(0)=a.0\(^2\)+b.0+c=c=>c là số nguyên

f(1)=a.1\(^{^2}\)+b.1+c=a+b+c

Vì c là số nguyên=>a+b là số nguyên(1)

f(2)=a.2\(^2\)+b.2+c=2.(2a+b)+c=>2.(2a+b)là số nguyên=>2a+b là số nguyên(2)

Từ (1)và(2)=>(2a+b)-(a+b)=2a+b-a-b=a là số nguyên=>a là số nguyên

Do a+b là số nguyên, mà a là số nguyên

=>b là số nguyên

Vậy f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x

bn Nguyễn Minh Tuấn ơi

tại sao 2(2a+b) nguyên thì 2a+b nguyên vậy

Ta có 

\(f\left(x\right)=\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{6}x\)

\(f\left(x\right)=\frac{1}{6}x\left(x^2-1\right)\)

Ta sẽ chứng minh x(x²-1) luôn chia hết cho 6

Thật vậy, ta có x(x²-1)=x(x-1)(x+1)

Ta có x(x-1)(x+1) luôn chẵn vì nếu x chẵn thì tất nhiên là chẵn. Nếu x lẻ thì x-1 và x+1 chia hết cho 2 => Tích chẵn

Với x=3k  => Tích chia hết cho 3

Với x=3k+1  =>x-1 chia hết cho 3 => tích chia hết cho 3

Với x=3k+2 =>x+1 chia hết cho 3  => Tích chia hết cho 3

Vậy tích luôn chia hết cho 3

Ta có tích chia hết cho 2 và 3, mà (2,3)=1 =>Tích chia hết cho 6

=> x(x²-1) luôn chia hết cho 6

Vậy f(x) luôn là số nguyên

Ta có 
ƒ x =
6
1 x
3 −
6
1 x
ƒ x =
6
1 x x
2 − 1
Ta sẽ chứng minh x(x2
-1) luôn chia hết cho 6
Thật vậy, ta có x(x2
-1)=x(x-1)(x+1)
Ta có x(x-1)(x+1) luôn chẵn vì nếu x chẵn thì tất nhiên là chẵn. Nếu x lẻ thì x-1 và x+1 chia hết cho 2 => Tích chẵn
Với x=3k  => Tích chia hết cho 3
Với x=3k+1  =>x-1 chia hết cho 3 => tích chia hết cho 3
Với x=3k+2 =>x+1 chia hết cho 3  => Tích chia hết cho 3
Vậy tích luôn chia hết cho 3
Ta có tích chia hết cho 2 và 3, mà (2,3)=1 =>Tích chia hết cho 6
=> x(x2
-1) luôn chia hết cho 6
Vậy f(x) luôn là số nguyên

Ta có f(0)=a.0

2

+b.0+c=c=>c là số nguyên

f(1)=a.1

2

+b.1+c=a+b+c

Vì c là số nguyên=>a+b là số nguyên(1)

f(2)=a.2

2

+b.2+c=2.(2a+b)+c=>2.(2a+b)là số nguyên=>2a+b là số nguyên(2)

Từ (1)và(2)=>(2a+b)-(a+b)=2a+b-a-b=a là số nguyên=>a là số nguyên

Do a+b là số nguyên, mà a là số nguyên

=>b là số nguyên

Vậy f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x

Bài 1:

\(\left\{{}\begin{matrix}xy+2=2x+y\left(1\right)\\2xy+y^2+3y=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Rightarrow xy-y+2-2x=0\)

\(\Rightarrow y\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Với \(x=1\). Thay vào (2) ta được:

\(2y+y^2+3y=6\)

\(\Leftrightarrow y^2+5y-6=0\)

\(\Leftrightarrow y^2+y-6y-6=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(y+1\right)-6\left(y+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(y-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\\y=6\end{matrix}\right.\)

Với \(y=2\). Thay vào (2) ta được:

\(2x.2+2^2+3.2=6\)

\(\Leftrightarrow4x+4+6=6\)

\(\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x,y) \(\in\left\{\left(1;-1\right),\left(1;6\right),\left(-1;2\right)\right\}\)

Bài 2:

\(f\left(x\right)=x^4+6x^3+11x^2+6x\)

\(=x\left(x^3+6x^2+11x+6\right)\)

\(=x\left(x^3+x^2+5x^2+5x+6x+6\right)\)

\(=x\left[x^2\left(x+1\right)+5x\left(x+1\right)+6\left(x+1\right)\right]\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x^2+3x+2x+6\right)\)

\(=x\left(x+1\right)\left[x\left(x+3\right)+2\left(x+3\right)\right]\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)

b) Ta có: \(f\left(x\right)+1=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1\)

\(=x\left(x+3\right).\left(x+1\right)\left(x+2\right)+1\)

\(=\left(x^2+3x\right).\left(x^2+3x+2\right)+1\)

\(=\left(x^2+3x\right)^2+2\left(x^2+3x\right)+1\)

\(=\left(x^2+3x+1\right)^2\)

Vì x là số nguyên nên \(f\left(x\right)+1\) là số chính phương.

Bạn tham khảo lời giải tại đây:

CHO ĐA thức f(x)=\(ax^3 bx^2 cx d\). Chứng minh rằng nếu f(X) nhận giá tri nguyên vs mọi giá trị nguyên của x thì d,2b,6... - Hoc24