\(nếu ef=1/4 ac thì góc c=a =150 do va goc b=d =30 do neu ef=1/4bd thi goc c=a=120 do va goc b=d=60 do \)

Ta có: AB // CD (gt)

OE ⊥ AB (gt)

⇒ OE ⊥CD

OG ⊥CD(gt)

Suy ra OE trùng với OG nên ba điểm O,E,G thẳng hàng.

BC // AD (gt)

OF ⊥ BC (gt)

⇒ OF ⊥ AD

OH ⊥ AD (gt)

Suy ra OF trùng với OH nên ba điểm O,H,F thẳng hàng.

Vì AC và BD là đường phân giác các góc của hình thoi nên:

OE = OF ( t/chất tia phân giác) (1)

OE = OH ( t/chất tia phân giác) (2)

OH = OG ( t/chất tia phân giác) (3)

Tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình chữ nhật.

ABCD là hình thoi

=>AC vuông góc với BD tại trung điểm của mỗi đường

=>AC\(\perp\)BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

Ta có:ABCD là hình thoi

=>AB//CD và AD//BC và AB=BC=CD=DA

Xét ΔEBO vuông tại E và ΔGDO vuông tại G có

BO=DO

\(\widehat{EBO}=\widehat{GDO}\)

Do đó: ΔEBO=ΔGDO

=>EO=GO

Ta có: ΔEBO=ΔGDO

=>\(\widehat{EOB}=\widehat{GOD}\)

mà \(\widehat{GOD}+\widehat{GOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{EOB}+\widehat{GOB}=180^0\)

=>E,O,G thẳng hàng

mà OE=OG

nên O là trung điểm của EG

Xét ΔOHD vuông tại H và ΔOFB vuông tại F có

OD=OB

\(\widehat{ODH}=\widehat{OBF}\)(hai góc so le trong, AD//BC)

Do đó: ΔOHD=ΔOFB

=>OH=OF

Ta có; ΔOHD=ΔOFB

=>\(\widehat{HOD}=\widehat{FOB}\)

mà \(\widehat{FOB}+\widehat{FOD}=180^0\)

nên \(\widehat{HOD}+\widehat{FOD}=180^0\)

=>H,O,F thẳng hàng

mà OH=OF

nên O là trung điểm của HF

ABCD là hình thoi

=>AC là phân giác của góc BAD

=>\(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}\)

Xét ΔAEO vuông tại E và ΔAHO vuông tại H có

AO chung

\(\widehat{EAO}=\widehat{HAO}\)

Do đó: ΔAOE=ΔAOH

=>OH=OE

mà \(OH=\dfrac{HF}{2};OE=\dfrac{EG}{2}\)

nên HF=EG

Xét tứ giác EFGH có

O là trung điểm chung của EF và GH

=>EFGH là hình bình hành

Hình bình hành EFGH có HF=EG

nên EFGH là hình chữ nhật

Ta có:  ∠ (AOB) và ∠ (COD) đối đỉnh nên E, O, G thẳng hàng

∠ (BOC) và  ∠ (AOD) đối đỉnh nên F, O, H thẳng hàng

Xét ∆ BEO và  ∆ BFO:

∠ (EBO) =  ∠ (FBO) (tính chất hình thoi)

OB cạnh chung

∠ (EOB) =  ∠ (FOB) = 45 0  (gt)

Do đó:  ∆ BEO =  ∆ BFO (g.c.g)

⇒ OE = OF (1)

Xét  ∆ BEO và  ∆ DGO:

∠ (EBO) = ∠ (GDO) (so le trong)

OB = OD(tính chất hình thoi)

∠ (EOB) = ∠ (GOD) (đối đỉnh)

Do đó:  ∆ BEO =  ∆ DGO (g.c.g)

⇒ OE = OG (2)

Xét ∆ AEO và  ∆ AHO:

∠ (EAO) = ∠ (HAO) (tính chất hình thoi)

OA cạnh chung

∠ (EOA) =  ∠ (HOA) =  45 0  (gt)

Do đó:  ∆ AEO = ∆ AHO (g.c.g)

⇒ OE = OH (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: OE = OF = OG = OH hay EG = FH

nên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và bằng nhau)

OE ⊥ OF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)

hay EG ⊥ FH

Vậy hình chữ nhật EFGH là hình vuông.