Đặt \(f\left(x\right)=x^2y^4-4xy^3+2x^2y^2+4y^2+4xy+x^2\)

\(f\left(x\right)=\left(y^4+2y^2+1\right)x^2-4\left(y^3-y\right)x+4y^2\)

\(a=y^4+2y^2+1>0;\forall y\)

\(\Delta'=4\left(y^3-y\right)^2-4y^2\left(y^4+2y^2+1\right)\)

\(=4y^6+4y^2-8y^4-4y^6-8y^4-4y^2=-16y^4\le0;\forall y\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge0\) ; \(\forall x;y\)

B trước nhé:

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số thực dương a^2 và b^2; b^2 và c^2 ; c^2 và a^2 ta được:

a^2 + b^2\(\ge\)2ab

Tương tự b^2 + c^2\(\ge\)2bc

Cx có c^2+a^2\(\ge\)2ac

=> 2(a^2+b^2+c^2)\(\ge\)2(ab + bc +ca)

=>a^2 + b^2 +c^2\(\ge\)ab+bc+ca

`a) 2 ( a^2 + b^2 ) >= ( a + b )^2`

`<=> 2a^2 + 2b^2 >= a^2 + 2ab + b^2`

`<=> a^2 - 2ab + b^2 >= 0`

`<=> ( a - b )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b`)

     `=>` Đẳng thức được c/m

_________________________________________

`b) a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca`

`<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 >= 2ab + 2bc + 2ca`

`<=> ( a^2 - 2ab + b^2 ) + ( b^2 - 2bc + c^2 ) + ( c^2 - 2ca + a^2 ) >= 0`

`<=> ( a - b )^2 + ( b - c )^2 + ( c - a )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b,c`)

         `=>` Đẳng thức được c/m

- Xét hiệu: a⁴ + b⁴ - ab³ -a³b = a( a³ - b³) - b ( a³ - b³)

= (a-b)² . ( a² + ab + b²) ≥ 0 với mọi x ∈ R ( đpcm).

Do \(a\) và \(\frac{1}{a}\) luôn cùng dấu

\(\Rightarrow\left|a+\frac{1}{a}\right|=\left|a\right|+\frac{1}{\left|a\right|}\ge2\sqrt{\frac{\left|a\right|}{\left|a\right|}}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=\pm1\)