\(2,\\ PT\Leftrightarrow6x^2+9y^2-\left(x^2+y^2\right)=20412\\ \text{Mà }20412⋮3;6x^2+9y^2⋮3\\ \Leftrightarrow x^2+y^2⋮3\Leftrightarrow x^2⋮3;y^2⋮3\Leftrightarrow x⋮3;y⋮3\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=3a\\y=3b\end{matrix}\right.\left(a,b\in Z\right)\Leftrightarrow5\left(3a\right)^2+8\left(3b\right)^2=20412\)

\(\Leftrightarrow9\left(5a^2+8b^2\right)=20412\\ \Leftrightarrow5a^2+8b^2=2268\)

Mà \(2268⋮3\Leftrightarrow5a^2+8b^2⋮3\Leftrightarrow a^2⋮3;b^2⋮3\Leftrightarrow a⋮3;b⋮3\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=3c\\b=3d\end{matrix}\right.\left(c,d\in Z\right)\Leftrightarrow9\left(5c^2+8d^2\right)=2268\Leftrightarrow5c^2+8d^2=252\)

Mà \(252⋮3\Leftrightarrow5c^2+8d^2⋮3\Leftrightarrow c^2⋮3;d^2⋮3\Leftrightarrow c⋮3;d⋮3\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}c=3k\\d=3q\end{matrix}\right.\left(k,q\in Z\right)\Leftrightarrow9\left(5k^2+8q^2\right)=252\Leftrightarrow5k^2+8q^2=28\)

\(\Leftrightarrow5k^2=28-8q^2\ge0\Leftrightarrow q^2\le\dfrac{28}{8}=3,5\\ \text{Mà }q\in Z\\ \Leftrightarrow-3\le q^2\le3\Leftrightarrow-1\le q\le1\)

\(\forall q=0\Leftrightarrow k^2=\dfrac{28}{5}\left(ktm\right)\\ \forall q=\pm1\Leftrightarrow k=\pm2\\ \Leftrightarrow\left(c;d\right)=\left(6;3\right);\left(-6;-3\right);\left(-6;3\right);\left(6;-3\right)\\ \Leftrightarrow\left(a;b\right)=\left(18;9\right)\left(-18;-9\right);\left(-18;9\right);\left(18;-9\right)\\ \Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(54;27\right);\left(-54;-27\right);\left(54;-27\right);\left(-54;27\right)\)

Gọi nghiệm nguyên của P(x) là: k

ta có: \(ak^3+bk^2+ck+d=0\)

\(k.\left(ak^2+bk+k\right)=-d\)( *)

ta có: \(P_{\left(1\right)}=a+b+c+d\)

\(P_{\left(0\right)}=d\)

mà P(1); P(0) là các số lẻ

=> a+b+c+d và d là các số lẻ

mà d là số lẻ

=> a+b+c là số chẵn

Từ (*) => k thuộc Ư(d)

mà d là số lẻ

=> k là số lẻ

=> \(k^3-1;k^2-1;k-1\)là các số chẵn

\(\Rightarrow a\left(k^3-1\right)+b\left(k^2-1\right)+c\left(k-1\right)\) là số chẵn

\(=\left(ak^3+bk^2+ck\right)-\left(a+b+c\right)\)

mà a+b+c là số chẵn

\(\Rightarrow ak^3+bk^2+c\) là số chẵn

Từ (*) => d là số chẵn ( vì d là số lẻ)

=> P(x) không thể có nghiệm nguyên

Ko biết là bạn có cần nữa ko.

Nhưng mình vẫn trả lời cho những bạn khác đang cần.

Do P(0) và P(1) lẻ nên ta có:

P(0)=d=> d là số lẻ

P(1)=a+b+c+d => a+b+c+d là số lẻ

Giả sử y là nghiệm nguyên của P(x). Khi đó:

P(y)=ay^3+by^2+cy+d=0

     =>ay^3+by^2+cy=-d

Mà d là số lẻ

=>y là số lẻ

Lại có: P(y)-P(1)=(ay^3+by^2+cy+d)-(a+b+c+d)

                         =a(y^3-1)+b(y^2-1)+c(y-1)+(d-d)

                         =a(y^3-1)+b(y^2-1)+c(y-1)

Do y là số lẻ=>P(y)-P(1) là số chẵn(1)

Mà P(y)-P(1)= 0-a+b+c+d

                   =-a-b-c-d

Do a+b+c+d lẻ

=>-a-b-c-d lẻ 

Hay P(y)-P(1) là số lẻ(2)

Vì (1) và (2) mâu thuẫn

=> Giả sử sai

Hay f(x) ko thể có nghiệm là các số nguyên(ĐCCM)

 Chỗ: mà d là số lẻ bổ sung thêm cho mình: nên -d là số lẻ nha

hihi

Cách giải bài này :

Vì Q(x) chia hết cho 5 với mọi x nguyên, nên em chọn 1 số giá trị thích hợp của x để đưa đến các pt nhiều ẩn

Ví dụ Q(0) = d chia hết cho 5; Q(1) = a +b +c +d, vì d chia hết cho 5 => a +b +c chia hết cho 5 (1)

Q(-1) = -a +b -c +d, vì d chia hết cho 5 => -a +b -c chia hết cho 5 (2)

Cộng từ vế (1) và (2) đc 2b chia hết cho 5 => b chia hết cho 5 vì (2,5) = 1

Trừ từng vế (1) và (2) ....

Em tính thêm Q(3) nữa là đc

787586