cho x>2016 và y>2016 thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2016}\)
tính giá trị của biểu thức P=\(\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x-2016}+\sqrt{y-2016}}\)
1) Cho \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right).\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
Tính tổng: \(x^{2016}+y^{2016}\)
2) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn:
\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+z\sqrt{z}=3\sqrt{xyz}\)
Tính giá trị của biểu thức: \(T=\left(1+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\right).\left(1+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{z}}\right).\left(1+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}}\right)\)
nhận liên hợp ta có \(\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=x^2+1-x^2=1\)
mà theo đề bài ta có \(\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
==> \(\sqrt{x^2+1}-x=y+\sqrt{y^2+1}\)
tương tự ta có \(\sqrt{x^2+1}+x=\sqrt{y^2+1}-y\)
trừ từng vế 2 pt trên ta có 2x=-2y <=>x=-y
đến đây ok rùi nhé bạn
\(\frac{\sqrt{x-2016}-1}{x-2016}+\frac{\sqrt{y-2016}-1}{y-2016}+\frac{\sqrt{z-2016}-1}{z-2016}=\frac{3}{4}\)
\(\left(\sqrt{x-2016}-2\right)^2+\left(\sqrt{y-2016}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-2016}-2\right)=0..\)
=> x=y=z = 2020
Cho a, b, c, khác 0. Tính giá trị biểu thức :\(A=x^{2017}+y^{2017}+z^{2017}\)
biết x,y,z thỏa mãn:
\(\frac{x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}}{a^{2016}+b^{2016}+c^{2016}}=\frac{x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}}{a^{2016}+b^{2016}+c^{2016}}\)
Cho các số x , y thỏa mãn :
\(\left(x+\sqrt{x^2}+2016\right)\left(y+\sqrt{y^2}+2016\right)=2016\)
Tìm giá trị của biểu thức \(P=x^{2015}+y^{2015}+2016\left(x+y\right)+1\)
Ta có (x + |x| + 2016)(y + |y| + 2016) > 2016 với mọi x, y nên không thể tính được P
a. giải phương trình sau : \(x+3+\sqrt{1-x^2}=3\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\)
b. cho x,y,z là 3 số thỏa mãn : xyz=1 và \(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
tính giá trị của biểu thức : \(P=\left(x^{2015}-1\right)\left(y^{2016}-1\right)\left(z^{2017}-1\right)\)
Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn xy+xz+yz=2016
\(\sqrt{\frac{yz}{x^2+2016}}+\sqrt{\frac{xy}{y^2+2016}}+\sqrt{\frac{xz}{z^2+2016}}\le\frac{3}{2}\)
thay 2016=xy+yz+xz vào các mẫu
dùng Cô-Si đảo vào từng phân số
sẽ dễ dàng chứng minh đc :D
Ta có
\(\sqrt{\frac{yz}{x^2+2016}}=\sqrt{\frac{yz}{x^2+yz+xy+xz}}\)
=\(\sqrt{\frac{yz}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}\)\(\le\frac{1}{2}.\frac{y}{x+y}+\frac{1}{2}.\frac{z}{x+z}\)
Tương tự \(\sqrt{\frac{xy}{y^2+2016}}\le\)\(\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y+x}+\frac{y}{y+z}\right)\)
\(\sqrt{\frac{xz}{z^2+2016}}\le\)\(\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)
=> \(VT\)\(\le\)\(\frac{1}{2}\)(\(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{z}{x+z}\)+\(\frac{y}{y+z}+\frac{z}{y+z}\))
=\(\frac{3}{2}\)(\(ĐPCM\))
Cho 3 số dương x, y, z thay đổi thoả mãn: \(\sqrt{\frac{xy}{z}}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{\frac{yz}{x}}=3\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{2016}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Theo giả thiết \(\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{\frac{xy}{z}}=3\)
\(\Rightarrow\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}+2x+2y+2z=9\)
Mặt khác , ta có BĐT phụ : \(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow9\ge3\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\le3\)
Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz \(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le3\left(x+y+z\right)\le9\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le3\)
Ta có : \(P=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{2016}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
\(=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{2007}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
\(\ge2.\sqrt{9}+\frac{2007}{3}=675\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Biết \(xy=1\) và \(|x+y|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức sau:
\(M=\frac{3}{4}+\left(\sqrt{5x^{2016}+4y}+2\right)^{2017}-\frac{x^{2015}}{y^{2016}}\)
Có \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4\) (Vì xy = 1)
\(\Rightarrow|x+y|\ge2\)
Dấu "=" xả ra khi \(\orbr{\begin{cases}x=y=1\\x=y=-1\end{cases}}\)
Xét x = y = 1 ta được:
\(M=\frac{3}{4}+\left(\sqrt{5.1^{2016}+4.1}-2\right)^{2017}-\frac{1^{2015}}{1^{2016}}\)
\(M=\frac{3}{4}\)
Xét x = y = -1 ta được:
\(M=\frac{3}{4}+\left(\sqrt{5.\left(-1\right)^{2016}+4.\left(-1\right)}\right)^{2017}-\frac{\left(-1\right)^{2015}}{\left(-1\right)^{2016}}\)
\(M=\frac{7}{4}+3^{2017}\)
Vậy với \(xy=1\)và \(|x+y|\)đạt giá trị nhỏ nhất thì M nhận 2 giá trị là \(\orbr{\begin{cases}M=\frac{3}{4}\\M=\frac{7}{4}+3^{2017}\end{cases}}\)
Có |x+y| lớn hơn hoặc bằng
|x|+|y| dấu bằng sảy ra <=>
xy lớn hơn hoặc bằng 0
mà xy=1 => |x+y|=|x|+|y| (1)
Ta lại có:|x|+|y|-2\(\sqrt{xy}=\)\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\)Lớn hơn hoặc bằng 0
=>|x|+|y| lớn hơn hoặc bằng \(2\sqrt{xy}=2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
=>|x+y| lớn hơn hoặc bằng 2
=>MIN |x+y|=2
Dấu bằng sảy ra
<=>|x+y|=2
Hay |x|+|y|=\(2\sqrt{xy}\)
=>\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\)
=>\(\sqrt{x}=\sqrt{y}\Rightarrow x=y\)
Mà |x+y|=2
TH1: x+y=2=>x=y=1
Thay vào M ta tính được M=3/4
TH2:x+y=-2 => x=y=-1
Thay vào M ta được
M=3/4
Vậy: M=3/4
Cho a,b,c >0; biết \(\hept{\begin{cases}a^2=b+4032\\x+y+z=a\\x^2+y^2+z^2=b\end{cases}}\)
\(P=x\sqrt{\frac{\left(2016+y^2\right)\left(2016+z^2\right)}{2016+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(2016+z^2\right)\left(2016+x^2\right)}{\left(2016+y^2\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(2016+x^2\right)\left(2016+y^2\right)}{\left(2016+z^2\right)}}\)
Chứng minh giá trị của P không phụ thuộc vào x,y,z
Bạn thêm điều kiện x,y,z lớn hơn 0 nhé :)
Từ giả thiết ta suy ra : \(a^2=b+4032\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+4032\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=2016\)thay vào :
\(x\sqrt{\frac{\left(2016+y^2\right)\left(2016+z^2\right)}{2016+x^2}}=x\sqrt{\frac{\left(y^2+xy+yz+zx\right)\left(z^2+xy+yz+zx\right)}{x^2+xy+yz+zx}}\)
\(=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+y\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}=x\left|y+z\right|=xy+xz\)vì x,y,z > 0
Tương tự : \(y\sqrt{\frac{\left(2016+z^2\right)\left(2016+x^2\right)}{2016+y^2}}=xy+zy\)
\(z\sqrt{\frac{\left(2016+x^2\right)\left(2016+y^2\right)}{2016+z^2}}=zx+zy\)
Suy ra \(P=2\left(xy+yz+zx\right)=2.2016=4032\)