Ta có thể viết lại A và B dưới dạng:

A = 29!

B = (58!/29!) / 30

Ta sẽ chứng minh rằng A + B chia hết cho 59 bằng cách chứng minh rằng A ≡ -B (mod 59).

Đầu tiên, ta áp dụng định lý Wilson: (p-1)! ≡ -1 (mod p) nếu p là số nguyên tố. Áp dụng định lý này với p = 59, ta có:

58! ≡ -1 (mod 59)

Ta nhân cả hai vế của phương trình trên với 29!, ta được:

29!(58!) ≡ -29! (mod 59)

Nhưng ta biết rằng 29! ≡ A (mod 59) và (58!/29!) ≡ B (mod 59), do đó ta có:

A * B ≡ -A (mod 59)

Thêm A vào cả hai vế của phương trình, ta được:

A + A * B ≡ 0 (mod 59)

Nhưng ta biết rằng A + B = 29! + (58!/29!) / 30, do đó:

A + B ≡ A + A * B (mod 59)

Vậy ta kết luận được rằng A + B chia hết cho 59.

Lời giải:
a.

$A=2+2^2+2^3+...+2^{100}$

$2A=2^2+2^3+2^4+...+2^{101}$

$\Rightarrow 2A-A=2^{101}-2$

$\Rightarrow A=2^{101}-2$

b.

Hiển nhiên các số hạng của $A$ đều chẵn nên $A\vdots 2(1)$

Mặt khác:
$A=(2+2^2+2^3+2^4)+(2^5+2^6+2^7+2^8)+....+(2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100})$

$=2(1+2+2^2+2^3)+2^5(1+2+2^2+2^3)+....+2^{97}(1+2+2^2+2^3)$

$=(1+2+2^2+2^3)(2+2^5+...+2^{97})=15(2+2^5+...+2^{97})\vdots 15(2)$

Từ $(1); (2)$ mà $(2,15)=1$ nên $A\vdots (2.15)$ hay $A\vdots 30$

$A=2+(2^2+2^3+2^4)+(2^5+2^6+2^7)+....+(2^{98}+2^{99}+2^{100})$

$=2+2^2(1+2+2^2)+2^5(1+2+2^2)+....+2^{98}(1+2+2^2)$

$=2+(1+2+2^2)(2^2+2^5+...+2^{98})$

$=2+7(2^2+2^5+...+2^{98})$

$\Rightarrow A$ không chia hết cho 7

$\Rightarrow A$ không chia hết cho 14.

Mấy bạn làm hộ mình nha , bài khó quá không biết làm thế nào nữa.Xin trân thành cảm ơn nếu các bạn làm chi tiết.

Vì số chính phương chia 3 dư 1 hoặc 0

Do đó các cặp số dư khi chia lần lượt a² và b² cho 3 là

(0;0) (0;1) (1;0) (1;1)

Vì a²+b²chia hết 3 nên ta nhận cặp (0;0) => a,b đều chia hết 3

ai ủng hộ 9 li-ke tròn 100 Điểm hỏi đáp , thanks trước nha

\(A=2^1+2^2+2^3+2^4+....+2^{2009}+2^{2010}\)

\(\Rightarrow A=\left(2^1+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+....+\left(2^{2009}+2^{2010}\right)\)

\(\Rightarrow A=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+....+2^{2009}\left(1+2\right)\)

\(\Rightarrow A=2.3+2^3.3+....+2^{2009}.3\)

​\(\Rightarrow A=3\left(2+2^3+....+2^{2009}\right)⋮3\left(dpcm\right)\)​

b: \(2^{70}+3^{70}=4^{35}+9^{35}=\left(4+9\right)\cdot A⋮13\)