b: Thay \(x=7-2\sqrt{6}\) vào A, ta được:

\(A=\dfrac{3\cdot\left(\sqrt{6}-1\right)}{-7+2\sqrt{6}-5\left(\sqrt{6}+1\right)-1}\)

\(=\dfrac{3\cdot\left(\sqrt{6}-1\right)}{-8+2\sqrt{6}-5\sqrt{6}-5}\)

\(=\dfrac{-3\sqrt{6}+3}{13+3\sqrt{6}}=\dfrac{93-48\sqrt{6}}{115}\)

Giải :

a) Điều kiện : x\(\ne\)5 ; x\(\ge\)2.

A = \(\frac{x-5}{\sqrt{x-2}-\sqrt{3}}\) = \(\frac{\left(x-5\right)\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{3}\right)}{x-5}\) = \(\sqrt{x-2}+\sqrt{3}\) \(\ge\) 0 + \(\sqrt{3}\) = \(\sqrt{3}\) (vì \(\sqrt{x-2}\)\(\ge\)0).

Vậy GTNN của A là \(\sqrt{3}\) khi x = 2.

Tích rồi mình làm câu b) cho

Câu 1:

Tìm max:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

\(y^2=(3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x})^2\leq (3^2+4^2)(x-1+5-x)\)

\(\Rightarrow y^2\leq 100\Rightarrow y\leq 10\)

Vậy \(y_{\max}=10\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\frac{\sqrt{x-1}}{3}=\frac{\sqrt{5-x}}{4}\Leftrightarrow x=\frac{61}{25}\)

Tìm min:

Ta có bổ đề sau: Với $a,b\geq 0$ thì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)

Chứng minh:

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geq a+b\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{ab}\geq 0\) (luôn đúng).

Dấu "=" xảy ra khi $ab=0$

--------------------

Áp dụng bổ đề trên vào bài toán ta có:

\(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\geq \sqrt{(x-1)+(5-x)}=2\)

\(\sqrt{5-x}\geq 0\)

\(\Rightarrow y=3(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x})+\sqrt{5-x}\geq 3.2+0=6\)

Vậy $y_{\min}=6$

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (x-1)(5-x)=0\\ 5-x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=5\)

Bài 2:

\(A=\sqrt{(x-1994)^2}+\sqrt{(x+1995)^2}=|x-1994|+|x+1995|\)

Áp dụng BĐT dạng \(|a|+|b|\geq |a+b|\) ta có:

\(A=|x-1994|+|x+1995|=|1994-x|+|x+1995|\geq |1994-x+x+1995|=3989\)

Vậy \(A_{\min}=3989\)

Đẳng thức xảy ra khi \((1994-x)(x+1995)\geq 0\Leftrightarrow -1995\leq x\leq 1994\)

Bài 3:

Ta thấy:

\(2x-x^2+7=8-(x^2-2x+1)=8-(x-1)^2\leq 8, \forall x\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow 2+\sqrt{2x-x^2+7}\leq 2+\sqrt{8}=2+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow B=\frac{3}{2+\sqrt{2x-x^2+7}}\geq \frac{3}{2+2\sqrt{2}}\)

Vậy GTNN của $B$ là \(\frac{3}{2+2\sqrt{2}}\).

Đẳng thức xảy ra tại \((x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1\)

a ) Đặt \(A=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\). Nhận xét A > 0

\(\Rightarrow A^2=\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)^2=2+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\)

Vì \(\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\ge0\Rightarrow2+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\ge2\Rightarrow A^2\ge2\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{2}\)(Vì A > 0)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}2\le x\le4\\\left(x-2\right)\left(4-x\right)=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=2\\x=4\end{cases}}\)

Vậy ....

b) Tương tự .

c) Đề phải là tìm GTLN 

\(C=\left|x\right|\sqrt{1-x^2}=\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}\) . Áp dụng bđt Cauchy : \(\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}\le\frac{x^2+1-x^2}{2}=\frac{1}{2}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x^2=1-x^2\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)hoặc \(x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Vậy ....

GTNN dễ thấy bằng 0 tại x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1 

a)Ta cần chứng minh BĐT \(\sqrt{T}+\sqrt{H}\ge\sqrt{T+H}\)

2 vế luôn dương bình phương ta có:

\(\left(\sqrt{T}+\sqrt{H}\right)^2\ge\left(\sqrt{T+H}\right)^2\)

\(T+H+2TH\ge T+H\)

\(2TH\ge0\) (luôn đúng do \(TH\ge0\))

Dấu = xảy ra khi \(TH\ge0\)

Áp dụng ta có \(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\ge\sqrt{x-2+4-x}=\sqrt{2}\)

Dấu = xảy ra khi (x-2)(4-x)\(\ge\)0 suy ra \(\orbr{\begin{cases}2\le0\le4\\\left(x-2\right)\left(4-x\right)=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=4\end{cases}}\)

Vậy ....

b) Áp dụng tương tự ta có:

\(\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}\ge\sqrt{7-x+x-5}=\sqrt{2}\)

Dấu = khi (7-x)(x-5)\(\ge\)0 suy ra \(\orbr{\begin{cases}x\le5\le7\\\left(7-x\right)\left(x-5\right)=0\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}x=7\\x=5\end{cases}}\)

Vậy...

c)Ta thấy \(\left|x\right|\sqrt{1-x^2}\ge0\)

Dấu = khi x=0 hoặc x=±1

Lời giải:

ĐK để tồn tại các biểu thức là $x\geq 0$

a) Ta thấy: $\sqrt{x}\geq 0\Rightarrow \sqrt{x}+5\geq 5$

$\Rightarrow A=\frac{2}{\sqrt{x}+5}\leq \frac{2}{5}$

Vậy $A_{\max}=\frac{2}{5}$ khi $x=0$

b) $\sqrt{x}+7\geq 7$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+7}\leq \frac{1}{7}$

$\Rightarrow B=\frac{-3}{\sqrt{x}+7}\geq \frac{-3}{7}$

Vậy $B_{\min}=\frac{-3}{7}$ khi $x=0$

c)

$2\sqrt{x}+1\geq 1\Rightarrow C=\frac{5}{2\sqrt{x}+1}\leq 5$

Vậy $C_{\max}=5$ khi $x=0$

d)

$3\sqrt{x}+2\geq 2\Rightarrow \frac{1}{3\sqrt{x}+2}\leq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow D=\frac{-7}{3\sqrt{x}+2}\geq \frac{-7}{2}$

Vậy $B_{\min}=\frac{-7}{2}$ khi $x=0$

a: \(B=\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}:\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}:\dfrac{x+1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)
b: B=2/7

=>\(\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=\dfrac{2}{7}\)

=>\(2\left(x+\sqrt{x}+1\right)=7\sqrt{x}\)

=>\(2x+2\sqrt{x}-7\sqrt{x}+2=0\)

=>\(2x-5\sqrt{x}+2=0\)

=>\(\left(2\sqrt{x}-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}-2\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}2\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{x}-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{4}\left(nhận\right)\\x=4\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)