Gọi a, b, c là 3 cạnh của 1tam giác có 3 đường cao tương ứng là ha, hb, hc. Tìm tam giác sao cho biểu thức \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{h_a^2+h_b^2+h_c^2}\) đạt GTNN.
Đề bài:
Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh BC,AC,AB lần lượt là a,b,c và các đường cao tương ứng là \(h_a,h_b,h_c\).
Tam giác đó là tam giác gì khi biểu thức \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{h_a^2+h_b^2+h_c^2}\)đạt giá trị nhỏ nhất?
Rảnh rảnh kiếm bài nhè nhẹ, mn giúp e nha!
sorry em lp 6 nen ko hieu
Cho tam giác ABC có dộ dài ba cạnh là BC,AC,AB lần lượt là a,b,c.
Các đường cao tương ứng là ha,hb,hc. tam giác đó là tam giác gì khi biểu thức \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ha^2+hb^2+hc^2}\)đạt gtnn
gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác có ba đường cao tương ứng là \(h_a,h_b,h_c\).Chứng minh \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{h_{a^2}+h_{b^2}+h_{c^2}}\ge4...\)
Vô câu hỏi hay mà xem nhé bạn. Câu này mình giải rồi
Một mảnh đất hình tam giác có độ dài 3 cạnh lần lượt là :3(m);4(m);6(m) có đường cao tương ứng là: ha;hb;hc. Tính diện tích mảnh đất biết:\(h_a;h_b;h_c\)
Tính diện tích mảnh đất biết:
\(h_a-h_b+h_c=25\)
Gọi a;b;c là các cạnh tam giác; 3 đường cao tương ứng là \(h_a;h_b;h_c\).
CMR \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{h_a^2+h_b^2+h_c^2}\ge\text{4}\).
-Qua A vẽ đường thẳng Ax song song với CK , từ C vẽ đường thẳng vuông góc AE tại H , trên tia đối tia HA lấy điểm E sao cho HA=HE= \(\dfrac{AE}{2}\). Nối BE
- CM \(\Delta\)ACE cân tại C \(\Rightarrow\) CA=CE=b
- Áp dụng pytago vào \(\Delta\)ABE \(\Rightarrow\) (2hc)2+c2 =(BE)2 \(\le\) (a+b)2 ( dấu = xảy ra khi B,C,E thẳng hàng ) \(\Rightarrow\) (2hc)2 \(\le\) (a+b)2 -c2 (1)
tương tự (2hb)2 =..............(2), (2ha)2 = .........(3)
Cộng vế theo vế (1)(2)(3) ta đc ......đpcm
gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có 3 đường cao tương ứng ha,hb,hc. chứng minh rằng: \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ha^2+hb^2+hc^2}>4\)
Ta có:
\(S=pr=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)
\(\Leftrightarrow p^2r^2=p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\)
\(\Leftrightarrow r^2=\frac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{r^2}=\frac{p}{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\frac{1}{\left(p-a\right)\left(p-b\right)}+\frac{1}{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}+\frac{1}{\left(p-a\right)\left(p-c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{r^2}=4\left(\frac{1}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}+\frac{1}{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}+\frac{1}{\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4r^2}=\frac{1}{c^2-\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2-\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{b^2-\left(c-a\right)^2}\)
\(\ge\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)(áp dụng \(x^2-y^2\le x^2\))
\(\Rightarrow4r^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{r^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}\ge4\left(1\right)\)
Ta lại có
\(S=\frac{a.ha}{2}=pr=\frac{r\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(\Rightarrow ha=\frac{r\left(a+b+c\right)}{a}\)
\(\Rightarrow ha^2=\frac{r^2\left(a+b+c\right)^2}{a^2}\)
Tương tự
\(hb^2=\frac{r^2\left(a+b+c\right)^2}{b^2}\)
\(hc^2=\frac{r^2\left(a+b+c\right)^2}{c^2}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(ha^2+hb^2+hc^2=r^2\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ha^2+hb^2+hc^2}=\frac{1}{r^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ha^2+hb^2+hc^2}\ge4\)
Gọi a,b,c là các cạnh của 1 tam giác có 3 đường cao tương ứng là ha,hb,hc Chứng minh rằng
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ha^2+hb^2+hc^2}\ge4\)
Cho tam giác ABC có diện tích là 1. Gọi a,b,c và ha,hb,hc tương ứng là độ dài cạnh và các đường cao của tam giác ABC.
CMR: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\)\(\ge36\)
Theo đề bài thì ta có:
\(ah_a=bh_b=ch_c=2\)
Ta có:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\ge\left(ah_a+bh_b+ch_c\right)^2\)
\(=\left(2+2+2\right)^2=36\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c=\frac{2}{\sqrt[4]{3}}\\h_a=h_b=h_c=\sqrt[4]{3}\end{cases}}\)
gợi a,b,c là ba cạnh của một tam giác h\(_{h_a,h_b.h_c}\) là các đường cao tương ứng . CHứng minh hệ thức (a+b+c)(1/a+1/b+1/c ) = \(h_a+h_b+h\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)\) Bạn nào làm dc bài này thì là học rất chắc phần dãy tỉ số rùi đó giúp mik vs nhé
Sửa đề \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\left(h_a+h_b+h_c\right)\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)\) \(\left(1\right)\)
Gọi S là diện tích tam giác \(\Rightarrow\)\(S=\frac{ah_a}{2}=\frac{bh_b}{2}=\frac{ch_c}{2}\)\(\Rightarrow\)\(a=\frac{2S}{h_a};b=\frac{2S}{h_b};c=\frac{2S}{h_c}\)
\(VT=\left(\frac{2S}{h_a}+\frac{2S}{h_b}+\frac{2S}{h_c}\right)\left(\frac{1}{\frac{2S}{h_a}}+\frac{1}{\frac{2S}{h_b}}+\frac{1}{\frac{2S}{h_c}}\right)\) ( thay vào là xong )
\(VT=2S\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)\left(\frac{h_a+h_b+h_c}{2S}\right)=\left(h_a+h_b+h_c\right)\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)\) ( đpcm )
Chúc bạn học tốt ~