a) Do ABCD là hình vuông (gt)

\(\Rightarrow AB=AD\)

\(\widehat{ABM}=\widehat{ADN}=90^0\)

Xét hai tam giác vuông: \(\Delta ABM\) và \(\Delta ADN\) có:

\(AB=AD\left(cmt\right)\)

\(BM=DN\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ADN\) (hai cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow AM=AN\) (hai cạnh tương ứng)

\(\widehat{BAM}=\widehat{DAN}\) (hai góc tương ứng)

Ta có:

\(\widehat{BAM}+\widehat{DAM}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{DAN}+\widehat{DAM}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{MAN}=90^0\)

\(\Delta AMN\) có:

\(AM=AN\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại A

Mà \(\widehat{MAN}=90^0\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AMN\) vuông cân tại A

b) Do \(\Delta AMN\) cân tại A

E là trung điểm của MN

\(\Rightarrow AE\) là đường trung tuyến, cũng là đường cao của \(\Delta AMN\)

\(\Rightarrow AE\perp MN\)

\(\Rightarrow EF\perp MN\)

Xét hai tam giác vuông: \(\Delta FEM\) và \(\Delta FEN\) có:

\(EM=EN\left(gt\right)\)

\(EF\) là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta FEM=\Delta FEN\) (hai cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow FM=FN\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta FAN\) và \(\Delta FAM\) có:

\(FA\) là cạnh chung

\(FN=FM\left(cmt\right)\)

\(AN=AM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta FAN=\Delta FAM\left(c-c-c\right)\)

Phạm Hồ Thanh Quang            

- Kéo dài AM, cắt CD tại K. 
- Theo đ/l menelaus: 
trong tam giac BCN, đt AK cắt BC tại M, CN tại K và BN tại I. Nên: 
MB/MC * KC/KN*IN/IB =1 (độ dài đại số) 
+ MB/MC=-1/2 
+KC/KN = 4/3 (dễ cm từ talet) 
Nên IN/IB=-3/2 
- Xét tam giác KMC và CMI: 
Có: M chung 
MC/MI = MK/CM 
(MK/CM= căn 10 (1) 
kẻ: IP vuông BC. Có: IP/CN = BI/BN=2/5 nên IP=2/5*a/2=a/5 
tương tự, BP/BC=2/5 nên BP=2a/5 
mà: BM=a/3 nên MP = a/15 
do đó: MI = a(2/45)^(0.5) 
MC=2a/3 nên MC/MI= căn 10 (2) ) 
(1) và (2) suy ra 2 tam giác đồng dạng 
Do đó góc C = góc I = 90 độ 
Do đó I thuộc đường tròn ngoại tiếp hv ABCD. 

Cách giải của bạn có phải lớp 8 không bạn, thấy nó xa vời quá, nhưng bạn không có cách khác thì thôi, cám ơn bạn

Kéo dài AM cắt DC tại P

VÌ ABCD là hình vuông

=> Đặt: AB = BC = CD = DA = a

=> BM = \(\frac{a}{3}\); CN = \(\frac{a}{2}\)

=> MC = BC - BM = \(\frac{2a}{3}\)

+) \(\Delta\)ABM ~ \(\Delta\)PCM  ( tự chứng minh )

=> \(\frac{AB}{PC}=\frac{BM}{MC}\)

=> \(\frac{a}{PC}=\frac{\frac{a}{3}}{\frac{2a}{3}}=\frac{1}{2}\)=> PC = 2a 

=> PN = PC - NC = 2a - \(\frac{a}{2}\)= \(\frac{3a}{2}\)

+) \(\Delta\)ABI ~ \(\Delta\)PNI ( tự chứng minh )

=> \(\frac{AB}{PN}=\frac{AI}{IP}\)

=> \(\frac{AI}{PI}=\frac{a}{\frac{3a}{2}}=\frac{2}{3}\)(1)

mà \(AI+PI=AP=\sqrt{AD^2+DP^2}=\sqrt{a^2+9a^2}=\sqrt{10}a\)( DP = DC + CP = 3a) (2)

Từ (1); (2) => \(\hept{\begin{cases}PI=\frac{3\sqrt{10}}{5}\\AI=\frac{2\sqrt{10}}{5}\end{cases}}\)

=> \(\frac{IP}{CP}=\frac{\frac{3\sqrt{10}a}{5}}{2a}=\frac{3}{\sqrt{10}}\)

\(\frac{CP}{MP}=\frac{2a}{\sqrt{MC^2+CP^2}}=\frac{2a}{\frac{2\sqrt{10}}{3}a}=\frac{3}{\sqrt{10}}\)

Xét \(\Delta\)ICP và \(\Delta\)CMP có:

\(\frac{IP}{CP}=\frac{CP}{MP}\)( = \(\frac{3}{\sqrt{10}}\))

và ^IPC = ^CPM 

=> \(\Delta\)ICP ~ \(\Delta\)CPM

=> ^CIP = ^MCP = 90\(^o\)

=> ^AIC = 90\(^o\)

Gọi O là giao điểm của AC và BD => O cách đều 4 điểm A, B, C, D (1)

Xét \(\Delta\)AIC vuông tại I có: O là trung điểm AC

=> O I = OA = OC (2)

Từ (1); (2) 

=> O cách đều 5 điểm A, B, C, D, I

thanks

Câu hỏi của Hồ Văn Đạt - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Bạn tự vẽ hình nha

a.Vì tam giác ABC cân tại A nên AB= AC và góc ABC = góc ACB

<=> góc ABM = góc ACN (vì các góc kề bù với nhau)

Xét tam giác ABM và tam giác ACN

Có: AB = AC (CMT)

      góc ABM = góc ACN (CMT)

      BM = CN (gt)

<=> tam giác ABM = tam giác ACN (c.g.c)

<=> AM = AN ( 2 góc tương ứng)

<=> tam giác AMN cân tại A

b. Vì tam giác ABM = tam giác ACN (CMT)

<=> góc MAB = góc CAN ( 2 góc tương ứng)

Xét tam giác vuông AHB và tam giác vuông AKC

Có: AB= AC (CMT)

      góc AHB= góc AKC= 90 độ

     góc MAB = góc CAN (CMT)

<=> tam giác AHB = tam giác AKC ( cạnh huyền- góc nhọn)

a) \(\Delta ABC\) cân tại A (gt).

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{matrix}\right.\) (Tính chất tam giác cân).

Mà \(\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^o;\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^o.\)

\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACN}.\)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACN:\)

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\left(cmt\right).\\ MB=CN\left(gt\right).\\ AB=AC\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta ABM\) \(=\) \(\Delta ACN\left(c-g-c\right).\)

b) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACK:\)

\(AB=AC\left(cmt\right).\\ \widehat{AHB}=\widehat{AKC}\left(=90^o\right).\\ \widehat{HAB}=\widehat{KAC}\left(\Delta ABM=\Delta ACN\right).\)

\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACK\) (cạnh huyền - góc nhọn).

\(\Rightarrow\) AH = AK (2 cạnh tương ứng).

c) Xét \(\Delta AOH\) và \(\Delta AOK:\)

\(AH=AK\left(cmt\right).\\ AOchung.\\ \widehat{AHO}=\widehat{AKO}\left(=90^o\right).\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta AOH\) \(=\) \(\Delta AOK\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

\(\Rightarrow\) OH = OK (2 cạnh tương ứng).

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}OB=OH-HB;OC=OK-KC.\\HB=KC\left(\Delta ABH=\Delta ACK\right).\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) OB = OC.

\(\Rightarrow\Delta OBC\) cân tại O.