cho 4 số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn a+b=c+d,ab+1=cd.
CMR:c=d
Cho 4 số nguyên dương \(a>b>c>d\) thỏa mãn \(ac+bd=\left(b+d+a-c\right)\left(b+d-a+c\right)\). Chứng minh rằng \(ab+cd\) không thể là số nguyên tố.
\(ac+bd=\left(b+d+a-c\right)\left(b+d-a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow ac+bd=\left(b+d\right)^2-\left(a-c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow ac+bd=b^2+d^2+2bd-a^2-c^2+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2-c^2=b^2+d^2+ac+bd\) (1)
Ta có
\(\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=a^2bd+ab^2c+acd^2+bc^2d=\)
\(=bd\left(a^2+c^2\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\) (2)
Thay (1) vào (2)
\(\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=bd\left(b^2+d^2+ac+bd\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=bd\left(b^2+d^2\right)+bd\left(ac+bd\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=\left(b^2+d^2\right)\left(ac+bd\right)+bd\left(ac+bd\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=\left(ac+bd\right)\left(b^2+d^2+bd\right)\) (3)
Do \(a>b>c>d\)
\(\Rightarrow\left(a-d\right)\left(b-c\right)>0\Leftrightarrow ab-ac-bd+cd>0\)
\(\Leftrightarrow ab+cd>ac+bd\) (4)
Và
\(\left(a-b\right)\left(c-d\right)>0\Leftrightarrow ac-ad-bc+bd>0\)
\(\Leftrightarrow ac+bd>ad+bc\) (5)
Từ (4) và (5) \(\Rightarrow ab+cd>ad+bc\)
Ta có
(3)\(\Leftrightarrow b^2+d^2+bd=\dfrac{\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)}{\left(ac+bd\right)}\) (6)
Vế trái là số nguyên => vế phải cũng phải là số nguyên
Giả sử ab+cd là số nguyên tố mà \(ab+cd>ac+bd\)
\(\Rightarrow UC\left(ab+cd;ac+bd\right)=1\) => ab+cd không chia hết cho ac+bd
=> để vế phải của (6) là số nguyên \(\Rightarrow ad+bc⋮ac+bd\Rightarrow ad+bc>ac+bd\) Mâu thuẫn với (5) nên giả sử sai => ab+cd không thể là số nguyên tố
mình là người mới ,cho mình hỏi làm sao để kiếm xu đổi quà
cho a, b, c, d là 4 số nguyên dương thỏa mãn: b=a+c/2 và 1/c=1/2.(1/b+1/d) Chứng minh rằng a/b=c/d
Cho a,b,c nguyên dương thỏa mãn a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2 CMR a+b+c+d là hợp số
cho 4 số nguyên a,b,c,d thỏa mãn : a + b = c + d ; ab + 1 = cd . CMR : c = d
1. Cho các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: a + b = c + d; ab + 1 = cd
Chứng tỏ rằng: c = d
2. Có tồn tại cặp số nguyên (a; b) nào thỏa mãn đẳng thức sau:
a) -252a + 72b = 2013
b) 512a - 104 = -2002
3. Cho m và n là các số nguyên dương:
A = \(\frac{2+4+6+...+2m}{m}\)
B = \(\frac{2+4+6+...+2n}{n}\)
Biết A<B, hãy so sánh m và n
4. Cho a, b, c, d thuộc Z thỏa mãn: a - ( b + c ) = d. Chứng tỏ rằng: a - c = b + d
cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn ab=cd. chứng minh rằng a^5+b^5=c^5+d^5 là hợp số
Cho 4 số nguyên a,b,c,d thỏa mãn : a + b = c + d và ab + 1 = cd . Chứng minh rằng c = d
Ta có :
\(a+b=c+d\)
\(\Rightarrow\)\(a=-b+c+d\)
Thay \(a=-b+c+d\) vào \(ab+1=cd\) ta được :
\(\left(-b+c+d\right)b+1=cd\)
\(\Leftrightarrow\)\(-b^2+bc+bd+1=cd\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(-b^2+bd\right)+\left(bc-cd\right)=-1\)
\(\Leftrightarrow\)\(-b\left(b-d\right)+c\left(b-d\right)=-1\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(c-b\right)\left(b-d\right)=-1\)
Vì \(a,b,c,d\inℤ\) nên có 2 trường hợp :
Trường hợp 1 :
\(\hept{\begin{cases}c-b=1\\b-d=-1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c=b+1\\b+1=d\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}c=b+1\\c=d\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\)\(c=d\)
Trường hợp 2 :
\(\hept{\begin{cases}c-b=-1\\b-d=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=c+1\\b=d+1\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\)\(c+1=d+1\)
\(\Rightarrow\)\(c=d\)
Vậy \(c=d\)
Chúc bạn học tốt ~
tìm tất cả các số nguyên dương a;b;c;d thỏa mãn a+b+c+d-3=ab=cd
Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^3+b^3+c^3−3abc=1$ .Tìm minP=$a^2+b^2+c^2$
Bài 2: Cho a,b,c,d thỏa mãn a>b>c>d và ac+bd=(b+d+a−c)(b+d−a+c) . Chứng minh ab+cd là hợp số
Bài 3:
1. Tìm hai số nguyên dương a và b thỏa mãn $a^2+b^2=[a,b]+7(a,b)$(với [a,b]=BCNN(a,b);(a,b)=UCLN(a,b))
2. Cho ΔABC thay đổi có AB=6,AC=2BC.Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ΔABC.
Bài 4: Cho a,b,c là các số nguyên tố thỏa mãn: $20abc<30(a+b+c)<21abc$. Tìm a,b,c.