Bài 1: Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k+1$ và $2k+3$ với $k$ tự nhiên.

Gọi $d=ƯCLN(2k+1, 2k+3)$

$\Rightarrow 2k+1\vdots d; 2k+3\vdots d$

$\Rightarrow (2k+3)-(2k+1)\vdots d$

$\Rightarrow 2\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$

Nếu $d=2$ thì $2k+1\vdots 2$ (vô lý vì $2k+1$ là số lẻ)

$\Rightarrow d=1$

Vậy $2k+1,2k+3$ nguyên tố cùng nhau. 

Ta có đpcm.

Bài 2:

a. Gọi $d=ƯCLN(n+1, n+2)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; n+2\vdots d$

$\Rightarrow (n+2)-(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $(n+1, n+2)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. 

b.

Gọi $d=ƯCLN(2n+2, 2n+3)$

$\Rightarrow 2n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow (2n+3)-(2n+2)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$.

Vậy $(2n+2, 2n+3)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Bài 2:

c.

Gọi $d=ƯCLN(2n+1, n+1)$

$\Rightarrow 2n+1\vdots d; n+1\vdots d$
$\Rightarrow 2(n+1)-(2n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $ƯCLN(2n+1, n+1)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

d.

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 3n+4)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 3n+4\vdots d$

$\Rightarrow 3n+4-3(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $ƯCLN(n+1, 3n+4)=1$

$\Rightarrow$ 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Gọi ƯCLN(2n+3;n+2)=d

Ta có: 2n+3 chia hết cho d;n+2 chia hết cho d

=>2n+3 chia hết cho d; 2(n+2)chia hết cho d

=> 2n+3 chia hết cho d;2n+4 chia hết cho d

=>[2n+4-(2n+3)]chia hết cho d

=>2n+4-2n-3 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d hay d=1=> ƯCLN(2n+3;n+2)=1

Vậy với mọi số tự nhiên n thì 2 số sau 2n+3 và n+2 là số nguyên tố cùng nhau

Chúc bạn học tốt!^_^

1.

$4-n\vdots n+1$

$\Rightarrow 5-(n+1)\vdots n+1$

$\Rightarrow 5\vdots n+1$
$\Rightarrow n+1\in \left\{1; 5\right\}$

$\Rightarrow n\in \left\{0; 4\right\}$

2.

Nếu $n$ chẵn $\Rightarrow n+6$ chẵn.

$\Rightarrow (n+3)(n+6)$ chẵn $\Rightarrow (n+3)(n+6)\vdots 2$

Nếu $n$ lẻ $\Rightarrow n+3$ chẵn.

$\Rightarrow (n+3)(n+6)$ chẵn $\Rightarrow (n+3)(n+6)\vdots 2$

3.

Giả sử $a,a+b$ không phải 2 số nguyên tố cùng nhau. Khi đó, đặt $d=ƯCLN(a,a+b)$. Điều kiện: $d\geq 2$.

$\Rightarrow a\vdots d; a+b\vdots d$
$\Rightarrow (a+b)-a\vdots d$

$\Rightarrow b\vdots d$

Vậy $a\vdots d; b\vdots d\Rightarrow d=ƯC(a,b)$. Mà $d\geq 2$ nên $a,b$ không phải 2 số nguyên tố cùng nhau (trái với đề bài) 

Vậy điều giả sử là sai. Tức là $a,a+b$ là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Gọi d = ƯCLN(2n + 3; n + 2) (d \(\in\)N*)

=> 2n + 3 chia hết cho d; n + 2 chia hết cho d

=> 2n + 3 chia hết cho d; 2.(n + 2) chia hết cho d

=> 2n + 3 chia hết cho d; 2n + 4 chia hết cho d

=> (2n + 4) - (2n + 3) chia hết cho d

=> 2n + 4 - 2n - 3 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d \(\in\)N* => d = 1

=> ƯCLN(2n + 3; n + 2) = 1

=> 2n + 3 và n + 2 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Chứng tỏ với mọi số tự nhiên n thì 2 số 2n + 3 và n + 2 là 2 số nguyên tố cùng nhau

GIUP MK VS.CAN GAP HU HU

Goi d la UCLN cua 2n+3 va 2+n

2n+3 chia het cho d

2+n chia hết cho d----> 2.(2+n)=4+2n chia het cho d

--> 4+2n-(2n+3) chia het cho d

--->4+2n-2n-3 chia het cho d

--> 1 chia het cho d

vay 2n+3 va n+2 la hai so nguyen to cung nhau

Gọi ƯCLN(2n+3;n+2)=d

Ta có: 2n+3 chia hết cho d;n+2 chia hết cho d

=>2n+3 chia hết cho d; 2(n+2)chia hết cho d

=> 2n+3 chia hết cho d;2n+4 chia hết cho d

=>[2n+4-(2n+3)]chia hết cho d

=>2n+4-2n-3 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d hay d=1=> ƯCLN(2n+3;n+2)=1

Vậy với mọi số tự nhiên n thì 2 số sau 2n+3 và n+2 là số nguyên tố cùng nhau

Chúc bạn học tốt!^_^

trong câu hỏi tương tự đó bn!!!!

787685999679

Gọi d là Ước chung lớn nhất của chúng ta có

n+2 chia hết cho d 

2n+3 chia hết cho d

=>n+2-2n+3 chia hết cho d

=>2(n+2)-2n+3 chia hết cho d 

=>2n+4-2n+3 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d 

=> d=1

Vậy ước chung của 2 số trên là 1 nên 2 số đó là 2 số nguyên tố cùng nhau

Gọi d là ƯC (n + 2; 2n + 3) ( d ∈ N ) Nên ta có :

n + 2 ⋮ d và 2n + 3 ⋮ d

<=> 2(n + 2) ⋮ d và 1(2n + 3) ⋮ d

<=> 2n + 4 ⋮ d và 2n + 4 ⋮ d

=> (2n + 4) - (2n + 3) ⋮ d

=> 1 ⋮ d => d = 1

Vì ƯC ( n + 2 ; 2n + 3 ) = 1 => n + 2 và 2n + 3 là nguyên tố cùng nhau

Gọi d là ƯCLN (n + 2 ; 2n + 3)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+2\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2n+4⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow2n+4-\left(2n+3\right)⋮d\)

     \(2n+4-2n-3⋮d\)

                 \(4-3⋮d\)

                     \(1⋮d\)\(\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(n+2;2n+3\right)=1\)

Vậy với mọi số tự nhiên n thì hai số n + 2 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Gọi ƯCLN(2n+3;n+2)=d

Ta có: 2n+3 chia hết cho d;n+2 chia hết cho d

=>2n+3 chia hết cho d; 2(n+2)chia hết cho d

=> 2n+3 chia hết cho d;2n+4 chia hết cho d

=>[2n+4-(2n+3)]chia hết cho d

=>2n+4-2n-3 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d hay d=1=> ƯCLN(2n+3;n+2)=1

Vậy với mọi số tự nhiên n thì 2 số sau 2n+3 và n+2 là số nguyên tố cùng nhau