Cho ba số a,b,c là 3 số khác 0 và a\(^2\)=bc. Chứng minh rằng \(\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}\)=\(\frac{c}{b}\)
Cho a, b, c là ba số khác 0 và a2 = bc. chứng minh rằng \(\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}=\frac{c}{b}\)
Cho a b c là ba số khác 0 và a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
\(\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}\) + \(\frac{ac}{a^2+c^2-b^2}\)+ \(\frac{bc}{b^2+c^2-a^2}\)= \(-\frac{3}{2}\)
\(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\Rightarrow\left(a+b\right)^2=c^2\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)
Tương tự: \(a^2+c^2-b^2=-2ac,b^2+c^2-a^2=-2bc\)
Do đó: Vế trái = \(\frac{ab}{-2ab}+\frac{ac}{-2ac}+\frac{bc}{-2bc}=\frac{-1}{2}+\frac{-1}{2}+\frac{-1}{2}=\frac{-3}{2}\)
Cho a,b,c là ba số khác nhau đôi một và \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
Chứng minh rằng : \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)
từ đề bài \(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}=\frac{-b\left(a-b\right)-c\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\)
Tương tự : \(\hept{\begin{cases}\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{-cb+c^2-a^2+ab}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\\\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{-ac+a^2-b^2+bc}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\end{cases}}\)
Cộng vế với vế ta được : \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c^2}{\left(a-b\right)^2}\)
\(=\frac{-ab+b^2-c^2+ac-bc+c^2-a^2+ab-ac+a^2-b^2+bc}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}=0\)(đpcm)
cho a,b,c là 3 số khác 0. chứng minh rằng:
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
mình nghĩ đề bài sai một chỗ :\(\frac{a^2}{b^2}\)chứ ko phải là \(\frac{a}{b^2}\)
mình chịu thôi bạn ơi mình mới học lớp 5 ak
cho a,b,c là các số khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn:
\(\frac{ab+2}{b}=\frac{bc+2}{c}=\frac{ca+2}{a}\)
chứng minh rằng a2b2c2=8
cho a,b,c là số thực khác 0 và thỏa mãn (a+b+c)2=a2+b2+c2.chứng minh \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=3\)
bài này khó quá hay bạn gửi lên ban quản lý Onine Math
Cho a,b,c là ba số thực đôi một khác nhau thỏa mãn hệ thức:\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\).
Chứng minh rằng: \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)
1/Giải phương trình sau :
\(x-a^2x-\frac{b^2}{b^2-x^2}+a=\frac{x^2}{x^2-b^2}\)
2/ Cho a, b, c là các số khác 0 và đôi một khác nhau , thỏa mãn đẳng thức a + b + c = 0 . Chứng minh rằng :
\(a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2=0\)
2, (trích đề thi học sinh giỏi Bến Tre-1993)
\(a^3+a^2b+ca^2+b^3+ab^2+b^2c+c^3+c^2b+c^2a=a^2\left(a+b+c\right)+b^2\left(a+b+c\right)+c^2\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
mà a+b+c=0 => (a+b+c)(a2+b2+c2)=0
=> đpcm
*bài này tui làm tắt, không hiểu ib
Vừa lm xog bị troll chứ, tuk quá
\(x-a^2x-\frac{b^2}{b^2-x^2}+a=\frac{x^2}{x^2-b^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(b^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}{\left(b^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}-\frac{a^2x\left(b^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}{\left(b^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}-\frac{b^2\left(x^2-b^2\right)}{\left(b^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}+\frac{a\left(b^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}{\left(b^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}=\frac{x^2\left(b^2-x^2\right)}{\left(b^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}\)
Khử mẫu :
\(\Leftrightarrow2x^3b^2-xb^4-x^5-2a^2x^3b^2+a^2xb^4+a^2x^5-b^2x^2+b^4+2ab^2x^2-ab^4-ax^4=x^2b^2-x^4\)
Tự xử nốt, lm bài này muốn phát điên mất.
đk \(x\ne\pm b\)
quy đồng mẫu, khử mẫu chung, ta đưa phương trình đã cho về phương trình
\(\left(x^2-b^2\right)\left[\left(1-a\right)-\left(1-a^2\right)x\right]=0\)(1)
với điều kiện x2-b2 khác 0, phương trình (1)trở thành (1-a)-(1-a2)x=0 <=> (1-a2)x=1-a (2)
với a=\(\pm\)1 => (2) vô ngiệm => (1) cũng vô nghiệm và phương trình đã cho cũng vô nghiệm
với a khác \(\pm\)1 => (2) có nghiệm \(x=\frac{1}{1+a}\)
để giá trị x=\(\frac{1}{1+a}\)là nghiệm của phương trình đã cho thì \(\frac{1}{1+a}\ne\pm b\)
kết quả: a=\(\pm1\Rightarrow S=\varnothing\)
\(\hept{\begin{cases}a\ne\pm1\\\frac{1}{1+a}\ne\pm b\end{cases}\Rightarrow S=\left\{\frac{1}{1+a}\right\}}\)
(Vasc)Cho ba số thực a, b, c không âm và hai trong ba số không đồng thời bằng 0.Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\le\frac{1}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{1}{ab+bc+ca}\)
Bài toán ghép cơ học không có gì mới
Ta chứng minh 2 bổ đề:
\(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\le\frac{9}{2\left(a+b+c\right)^2}\left(1\right)\)
\(\frac{9}{2\left(a+b+c\right)^2}\le\frac{1}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{1}{ab+bc+ca}\left(2\right)\)
Bất đẳng thức ( 2 ) tương đương với:
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}+1+\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+4\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ge2\)( Luôn đúng theo BĐT AM - GM )
Bất đẳng thức ( 1 ) tương đương với:
\(\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\right)\le\frac{9}{2}\)
Sử dụng Titu's Lemma ta dễ có:
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4a^2+b^2+c^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{a^2}{2a^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\)
Một cách tương tự khi đó:
\(LHS\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\Sigma\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}\right)=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\left(đpcm\right)\)
Vậy ta có đpcm