Ta có: \(P=x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{2006^2}{3}\)

trả lời rõ ra đc k bạn nếu đc thì thank bạn nhìu nha

Áp dụng BĐT phụ:  \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)  và \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) 

Ta có: \(x^4+y^4+z^4=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{2006^2}{3}\) 

Dấu "=" khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{2006}{3}}\)

Ta cm được: \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(A=x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

Min A = 1/3 khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a, ta có

\(x^4+y^4+z^4\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)

Mà \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx=1\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge\dfrac{1}{3}\)

dấu = xảy ra <=> \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

^.^

cách khác nè, mình k cố ý tranh giành câu trả lời vs nhau đâu

\(x^4+y^4\ge2x^2y^2\) tương tự vs cái còn lại

\(\sum x^4\ge\sum x^2y^2\)

\(x^2y^2+\dfrac{1}{9}\ge\dfrac{2}{3}xy\) =>\(\sum x^2y^2\ge\dfrac{1}{3}\)

=>\(\sum x^4\ge\dfrac{1}{3}\)

:V thế t có nói gì đâu , mà ghê thế mới vô h24 mà trả lời kinh thế god :V

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{x^4}{y+3z}+\frac{y+3z}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^4}{y+3z}\cdot\frac{y+3z}{16}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}}=x\)

\(\Rightarrow\frac{x^4}{y+3z}\ge x-\frac{y+3z}{16}-\frac{1}{2}\).Tương tự ta có:

\(\frac{y^4}{z+3x}\ge y-\frac{z+3x}{16}-\frac{1}{2};\frac{z^4}{x+3y}\ge z-\frac{x+3y}{16}-\frac{1}{2}\)

Cộng theo vế ta có:

\(P\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{3}{4}\cdot3-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" khi x=y=z=1

xin cho mình hỏi sao x+y+z lại\(\ge\)xy+yz+zx vậy

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

<=>\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

<=>\(\left(a+b+c\right)^2\ge9\)

<=>\(a+b+c\ge3\)

\(A=x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{1}{3}..\)

min A = 1/3 . khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}.\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopski,ta có:

\(\left(xy+yz+zx\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow1\le\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopski một lần nữa,ta có:

\(\left(x^4+y^4+z^4\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\le3\left(x^4+y^4+z^4\right)\left(2\right)\)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow A\ge\frac{1}{3}\) dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Vậy......

e lộn chỗ dấu "=" xảy ra tí nha mọi người.

\(x=y=z=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\) mới đúng ah