Lời giải:

Ta sẽ đi chứng minh \(A=(p+23)(p+25)\vdots 3\) và $8$

Thật vậy.

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ không chia hết cho $3$. Do đó $p$ có dạng \(3k+1\) hoặc \(p=3k+2\)

\(\bullet p=3k+1\Rightarrow p+23=3k+24=3(k+8)\vdots 3\)

\(\Rightarrow A=(p+23)(p+25)\vdots 3\)

\(\bullet p=3k+2\Rightarrow p+25=3k+27=3(k+9)\vdots 3\)

Từ 2 TH trên suy ra \(A\vdots 3(*)\)

Mặt khác, vì $p$ là snt lớn hớn $3$ nên $p$ lẻ. Do đó $p$ có dạng $4t+1$ hoặc $4t+3$

\(\bullet p=4t+1\Rightarrow A=(4t+24)(4t+26)=8(t+6)(2t+13)\vdots 8\)

\(\bullet p=4t+3\Rightarrow A=(4t+26)(4t+28)=8(2t+13)(t+7)\vdots 8\)

Từ 2 TH trên suy ra \(A\vdots 8(**)\)

Từ \((*); (**)\) mà $(3,8)$ nguyên tố cùng nhau nên $A\vdots (3.8)$ hay $A\vdots 24$

Lời giải:

Ta sẽ đi chứng minh và

Thật vậy.

Vì là số nguyên tố lớn hơn nên không chia hết cho . Do đó có dạng hoặc

Từ 2 TH trên suy ra

Mặt khác, vì là snt lớn hớn nên lẻ. Do đó có dạng hoặc

+)Vì n là 1 số tự nhiên lẻ
=) \(24^n\)có chữ số tận cùng là 24
=) \(24^n+1\)có chữ số tận cùng là 25\(⋮25\)( Vì số chia hết 25 là số có chữ số tận cùng là 25 ) \(\left(1\right)\)
+) Vì \(24:23\left(dư1\right)\)=) \(24^n:23\left(dư1\right)\)=) \(24^n+1:23\left(dư2\right)\)
=) \(24^n+1\)không chia hết 23 \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)=) \(24^n+1⋮25\)nhưng không chia hết cho 23 (với n là 1 số tự nhiên lẻ)

vì N là 1 số tự nhiên lẻ

\(\Rightarrow24^n\)có chử số tận cùng là 24

\(\Rightarrow24^n+1\) có chữ số tận cùng là\(25⋮25\)

bởi vì 24:23 dư 1 = \(24^n\div23\left(d\text{ư1}\right)\Rightarrow24+1.23\left(d\text{ư2}\right)\)

a) \(p\)là số nguyên tố lớn hơn \(3\)nên \(p\)là số lẻ. 

\(p=2k+1\)suy ra \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)=2k\left(2k+2\right)=4k\left(k+1\right)⋮8\)

(vì \(k\left(k+1\right)\)là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho \(2\))

\(p\)là số nguyên tố lớn hơn \(3\)nên \(p=3k\pm1\).

Khi đó \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)sẽ chia hết cho \(3\).

Mà \(\left(8,3\right)=1\)nên \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)chia hết cho \(8.3=24\).

b) Đặt \(\left(2n+1,3n+1\right)=d\).

Suy ra 

\(\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\3n+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow3\left(2n+1\right)-2\left(3n+1\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\).

Do đó ta có đpcm. 

bạn hãy vào đây nhé:

https://olm.vn/hoi-dap/question/18848.html

!!!!!!!!!!!!!!!!

+ta có n là số tự nhiên lẻ =>24^n có chữ số tận cùng là 24 (cái này xem kĩ hơn về phần tính chất chia hét của lũy thừa nhé)

=>24^n+1 có chữ số tận cùng là 25 ( vì số chữ số tận cùng nào thì chia hết cho số đó =>25 chia hết 25)
 + ta có 24:23 (có dư là 1) =>24^n :23 (dư 1 )=>24^n+1 :23 (dư 2) => 24^n+1 k chia hết cho 23