Bố Nam gấp 3 lần tuổi Nam là tính theo năm, nhưng ngoài ra còn có trường hợp tháng tuổi. Và trường hợp cần tìm là 1 gia đình có ông (bà) 60 tuổi và cháu tròn 1 tháng tuổi, bởi 60 năm = 720 tháng. Do vậy thỏa mãn điều kiện đề bài: Hai người cùng nhà có số tuổi gấp 720 lần nhau"

Giải:

Gọi Cy là tia đối của tia CB. Dựng DH, DI, DK lần

lượt vuông góc với BC. AC, AB. Từ giả thiết ta suy

ra DI = DK; DK = DH nên suy ra DI = DH ( CI

nằm trên tia CA vì nếu điểm I thuộc tia đối của CA

thì DI > DH). Vậy CD là tia phân giác của ICy và IC_y  là góc ngoài của tam giâc ABC suy ra

\(ACD=DCy=\frac{A+B}{2}=\frac{30^0+130^0}{2}=80^0\)

Mặt khác CAE=180^0-130⁰=50⁰ . Do đó, CAE=50⁰ nên tam giác CAE cân tại C

\(\Rightarrow CA=CE\)

Bài 2:

Kẻ OF//BC(F thuộc AC)

=>OF//DE//BC

DE//BC

=>góc DEA=góc ACB

=>góc DEO=1/2*góc ACB

ED//OF
=>góc DEA=góc CFD và góc DEO=góc EOF

=>góc EOF=1/2*góc ACB

=>góc DEO=góc EOF

OF//BC

=>góc FOB=góc OBC=1/2góc ABC

góc BOE=góc BOF+góc EOF

=1/2(góc ABC+góc ACB)

Vì AD là phân giác BAC => DAC = DAB = BAC : 2 hay 2DAC = 2DAB = BAC

Vì CE là phân giác BCA => BCE = ECA = BCA : 2 hay 2BCE = 2ECA = BCA

Xét △ABC vuông tại B có: BAC + BCA = 90^o (2 góc nhọn trong △ vuông)

=> 2DAC + 2ECA = 90^o  => DAC + ECA = 45^o

Xét △ICA có: ICA + IAC + CIA = 180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

=> 45^o + CIA = 180^o  => CIA = 135^o

b, Xét △ABC có BCx là góc ngoài của △ tại đỉnh C, ta có: BCx = CBA + BAC => BCx = 90^o + BAC

Vì CK là phân giác BCx \(\Rightarrow\frac{\widehat{BCx}}{2}=\frac{90^o+\widehat{BAC}}{2}\)\(\Rightarrow\widehat{BCK}=45^o+\widehat{DAC}\)

Xét △KCA có: CKA + KCA + CAK = 180^o (tổng 3 góc trong △)

=> CKA + KCD + DCI + ICA + CAK = 180^o

=> CKA + 45^o + DAC + DCI + ICA + CAK = 180^o

=> CKA + (DAC + ICA) + (DCI + CAK) = 135^o

=> CKA + 45^o + 45^o = 135^o

=> CKA = 45^o

a: ΔBAC vuông tại B

=>\(\widehat{BAC}+\widehat{BCA}=90^0\)

=>\(2\left(\widehat{IAC}+\widehat{ICA}\right)=90^0\)

=>\(\widehat{IAC}+\widehat{ICA}=45^0\)

Xét ΔIAC có \(\widehat{IAC}+\widehat{ICA}+\widehat{CIA}=180^0\)

=>\(\widehat{CIA}=180^0-45^0=135^0\)

b: CI và CK là hai tia phân giác của hai góc kề bù

=>\(\widehat{ICK}=90^0\)

\(\widehat{CIK}+\widehat{CIA}=180^0\)

=>\(\widehat{CIK}=45^0\)

Xét ΔCKI vuông tại C có \(\widehat{CIK}=45^0\)

nên ΔCKI vuông cân tại C

=>\(\widehat{CKI}=\widehat{CKA}=45^0\)

Ta có : góc A + góc B +góc C = 180 ( Định lý tổng 3 góc của 1 tam giác )
             80     +  50   + góc C   = 180
          => góc C = 180 -80 -50 = 50 
Ta có: góc BAC + góc CAx = 180 ( kề bù )
                80       + góc Cax = 180
                => Góc Cax = 100
Vì AI là tia phân giác của Góc CAx => góc CAy = góc yAx 
=> góc CAy = Góc CAx / 2 =100/2 = 50
 Ta có ( góc yAC + góc CAB ) + góc BAC = 180 ( ở vị trí trong cùng phía )
 Suy ra Ay // BC ( đpcm)