Lê Hà Phương

làm thế nào vậy

\(cos2A+cos2B-cos2C\le\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow2cos\left(A+B\right).cos\left(A-B\right)-2cos^2C+1\le\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow-cos\left(C\right).cos\left(A-B\right)-cos^2C\le\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow4cos^2C+4cosC.cos\left(A-B\right)+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow4cos^2C+4cosC.cos\left(A-B\right)+cos^2\left(A-B\right)+sin^2\left(A-B\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2cosC+cos\left(A-B\right)\right)^2+sin^2\left(A-B\right)\ge0\)(đúng)

Ta có ĐPCM

Lời giải:

Sử dụng các công thức lượng giác ta thực hiện biến đổi biểu thức như sau:

\(\cos 2A+\cos 2B+\cos =2\cos \frac{2A+2B}{2}\cos \frac{2A-2B}{2}+\cos ^2C-\sin ^2C\)

\(=2\cos (A+B)\cos (A-B)+2\cos ^2C-(\sin ^2C+\cos ^2C)\)

\(=2\cos (\pi -C)\cos (A-B)+2\cos ^2C-1\)

\(=2\cos ^2C-2\cos C\cos ^2(A-B)-1\)

\(=2[\cos ^2C-\cos C\cos (A-B)+\frac{1}{4}\cos ^2(A-B)]-\frac{1}{2}\cos ^2(A-B)-1\)

\(=2[\cos C-\frac{1}{2}\cos (A-B)]^2-\frac{1}{2}\cos ^2(A-B)-1\)

Ta thấy :

\(2[\cos C-\frac{1}{2}\cos (A-B)]^2\geq 0\)

\(\cos ^2(A-B)\leq 1\) (tính chất hàm cos)

\(\Rightarrow \cos 2A+\cos 2B+\cos 2C\geq 2.0-\frac{1}{2}.1-1=\frac{-3}{2}\)

Ta có đpcm.

Ta có bất phương trình tương đương:

\(\Leftrightarrow x-2\left(\cos B+\cos C\right)x+2-2\cos A\ge0\)

Ta có:

\(\Delta'=\left(\cos B+\cos C\right)^2-2+2\cos A\)

\(=4\cos^2\left(\frac{B+C}{2}\right).\cos^2\left(\frac{B-C}{2}\right)-4\sin^2\left(\frac{A}{2}\right)\)

 \(=4\sin^2\left(\frac{A}{2}\right)\left(\cos^2\left(\frac{B-C}{2}\right)-1\right)\le0\)

Bên cạnh đó ta có hệ số \(a=1>0\)

Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh là đúng.