bài này mình làm trong vở ,mình đã chụp ảnh lại lời giải,bạn chịu khó mở trang của mình ra xem nha

Bạn tham khảo bài toán số 21 nha : https://olm.vn/hoi-dap/detail/11112433588.html

~ Học tốt ~

#)Giải :

Ta có : 

\(a=111...11\)(2n chữ số 1)

\(b=111..11\)(n + 1 chữ số 1)

\(c=666...66\)(n chữ số 6)

\(\Rightarrow a+b+c+8=111...11+111...11+666...66+8\)

\(=\frac{10^{2n}-1}{9}+\frac{10^{n+1}-1}{9}+\frac{6\left(10^n-1\right)}{9}+\frac{72}{9}\)

\(=\frac{10^{2n}-1+10^{n+1}-1+6\left(10^n-1\right)+72}{9}\)

\(=\frac{\left(10^n\right)^2+10.10^n+6.10^n-6+70}{9}\)

\(=\frac{\left(10^n\right)^2+16.10^n+64}{9}=\left(\frac{10^n+8}{3}\right)^2\)

\(\Rightarrow a+b+c+8\)là số chính phương (đpcm)

Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A 1 đơn vị thì số A sẽ tăng thêm 1111 đơn vị hay A + 1111 = B (1).

Đặt A = a² và B = b² với a,b thuộc N*.

Từ (1) => a² + 1111 = b²  => b² - a² = 1111 => (a + b)(b - a) = 1111. (2)

Vì a, b thuộc N* nên a + b > b - a. (3) Ta có : 1111 = 11.101 (4)

Từ (2), (3) và (4) => a + b = 101 và b - a = 11. => a = 45 và b = 56.

=> A = 2025 và B = 3136.

mk chịu , bó tay nhập y tế

ab+1= 111...12 x 111...14 +1 

= 111...12 x (111...12+2) +1

= 111...12 x 111...12 + 2 x 111...12 +1 

=( 111...12 +1 )² = 111...13²

de do roi mat to cos cach khac:)

\(a=1111.....12\) (n chu so 1)

\(\Rightarrow a=1111...11+1\)(n+1 chu so 1)

\(b=111....14\)(n chu so 1)

\(\Rightarrow b=111....1+3\)

Ta co:\(a=\frac{10^{n+1}-1}{9}+1\)

\(b=\frac{10^{n+1}-1}{9}+3\)

Dat \(\frac{10^{n+1}-1}{9}=x\)

Ta co:

\(ab+1=\left(x+1\right)\left(x+3\right)+1=x^2+4x+4=\left(x+2\right)^2\)

Thay vao ta duoc:

\(ab+1=\left(111....13\right)^2\)

P/S:Mac du dai hon nhung se tot hon cho ai roi nao (dua thoi).Hihi!

Cách 3:(Vẫn cùng ý tưởng tách như Cool Kid nhưng ngắn hơn nhiều:)

Ta có \(a=111..11+1\left(\text{n+1 chữ số 1}\right)\)

\(b=111..11+3\) (n+1 chữ số 1)

Đặt \(111..11\left(\text{n+1 chữ số 1}\right)=x\) khi đó \(ab+1=\left(x+1\right)\left(x+3\right)+1=x^2+4x+4=\left(x+2\right)^2\) là một số chính phương

\(A=\left(1+b^2+a^2+a^2b^2\right).\left(1+c^2\right)\)

\(=1+a^2+b^2+c^2+a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2+a^2b^2c^2\)

\(=1+\left(a+b+c\right)^2-2.\left(ab+bc+ac\right)+\left(ab+bc+ac\right)^2-2abc.\left(a+b+c\right)+a^2b^2c^2\)

Thay ab+bc+ac=1 vào A, ta có:

\(A=1+\left(a+b+c\right)^2-2+1-2abc.\left(a+b+c\right)+a^2b^2c^2\)

\(=\left(a+b+c\right)^2-2abc.\left(a+b+c\right)+a^2b^2c^2\)

\(=\left(a+b+c-abc\right)^2\)

Vì a,b,c thuộc Z 

\(\Rightarrow\left(a+b+c-abc\right)^2\)là số chính phương

\(\hept{\begin{cases}\left(1+a^2\right)=\left(ab+bc+ca+a^2\right)=b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\\\left(1+b^2\right)=\left(ab+bc+ca+b^2\right)=a\left(b+c\right)+b\left(b+c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\\\left(1+c^2\right)=\left(ab+bc+ca+c^2\right)=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow A=\text{[}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\text{]}^2\Rightarrow\text{đ}pcm\)