\(\sin A=\sin\left(\Pi-B-C\right)=\sin\left(B+C\right)\)

\(=\sin B\cos C+\cos B\sin C\)

TL:

sinA+sinB+sinC=1-cosA+cosB+cosC => Tam giác ABC Vuông tại A

Vế trái = sinA + sinB + sinC

= 2sin(A + B)/2.cos(A - B)/2 + 2sinC/2.cosC/2

= 2cosC/2.cos(A - B)/2 + 2sinC/2.cosC/2

= 2cosC/2[cos(A - B)/2 + sinC/2]

=2.cosC/2.[cos(A - B)/2 + cos(A + B)/2]

= 4.cosC/2.cosB/2.cosA/2

Vế phải = 1 - cosA + cosB + cosC

= 2sin²A/2 + 2cos(B + C)/2.cos(B - C)/2

= 2.sinA/2[sinA/2 + cos(B - C)/2] (vì cos(B + C)/2 = sinA/2)

= 2.sinA/2[cos(B + C)/2 + cos(B - C)/2

= 4.sinA/2.cosB/2.cosC/2

Vậy sinA + sinB + sinC = 1 - cosA + cosB + cosC

<=> cosA/2.cosB/2.cosC/2 = sinA/2.cosB/2.cosC/2

<=> cosB/2.cosC/2(sinA/2 - cosA/2) = 0

mà cosB/2 ≠ 0 và cosC/2 ≠ 0

=> sinA/2 = cosA/2

<=> A/2 = 45^o

<=> A = 90^o

tam giác ABC vuông tại A

Lời giải:

Áp dụng 1 số công thức lượng giác:
\(\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}=\frac{2\sin (\frac{B+C}{2})\cos (\frac{B-C}{2})}{2\cos (\frac{B+C}{2})\cos (\frac{B-C}{2})}=\frac{\sin \frac{B+C}{2}}{\cos \frac{B+C}{2}}\)

\(=\tan \frac{B+C}{2}=\tan (\frac{\pi-A}{2})=\cot \frac{A}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}=\frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}\) (trong tam giác, \(\widehat{A}\neq 0\rightarrow \sin \frac{A}{2}\neq 0)\)

\(\Leftrightarrow \cos \frac{A}{2}(2\sin^2 \frac{A}{2}-1)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} \cos \frac{A}{2}=0\rightarrow \frac{\widehat{A}}{2}=\frac{\pi}{2}\rightarrow \widehat{A}=\pi (\text{vô lý})\\ \sin \frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\rightarrow \frac{\widehat{A}}{2}=\frac{\pi}{4}\rightarrow \widehat{A}=\frac{1}{2}\pi=90^0 \end{matrix}\right.\)

Do đó tam giác ABC vuông tại A

Không mất tính tổng quát giả sử: \(A\ge B\ge C\)

=> \(tanA\ge tanB\ge tanC;cosA\le cosB\le cosC\)

Áp dụng BĐT Chebyshev ta có:

\(\left(\dfrac{tanA+tanB+tanC}{3}\right)\left(\dfrac{cosA+cosB+cosC}{3}\right)\ge\dfrac{tanA\cdot cosA+tanB\cdot cosB+tanC\cdot cosC}{3}\)

=> \(\dfrac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}\le\dfrac{tanA+tanB+tanC}{3}\)

mặt khác ta có: \(tanA+tanB+tanC=tanA\cdot tanB\cdot tanC\)

=> \(\dfrac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}\le\dfrac{tanA\cdot tanB\cdot tanC}{3}\left(đpcm\right)\)

đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Đề sai.

\(tan90^o=\dfrac{1}{0}\) (không thể chia cho không) nên đề bài sai với trường hợp tam giác vuông rồi.

hình như lp 8 không có phần lượng giác

a)\(VT=sinA+sinB+sinC=2sin\frac{A+B}{2}.cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C}{2}.cos\frac{C}{2}\)

\(=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}\right)=4cos\frac{C}{2}.cos\frac{A}{2}.cos\frac{B}{2}\)(đpcm)

b)Ta có:\(A+B+C=180^O\)

\(\Rightarrow tan\left(A+B\right)=tan\left(-C\right)=-tanC\)

\(\Leftrightarrow\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}=-tanC\Leftrightarrow tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC\left(đpcm\right)\)

Đặt BC = a; CA = b; AB = c.

Theo định lý hàm sin và định lý hàm cos, ta sẽ có:

\(\frac{sinB}{sinA}=\frac{b}{a};\frac{sinC}{sinA}=\frac{c}{a};\)

\(cosB=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca};cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\).

Do đó:

\(sinA=\frac{sinB+sinC}{cosB+cosC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{sinB}{sinA}+\frac{sinC}{sinA}=cosB+cosC\)

\(\Leftrightarrow\frac{b}{a}+\frac{c}{a}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

\(\Leftrightarrow b+c=\frac{c^2b+a^2b-b^3+a^2c+b^2c-c^3}{2bc}\)

\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c-b^3-c^3=b^2c+bc^2\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)=a^2\left(b+c\right)\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2\).

Theo định lý Pythagoras đảo, tam giác ABC vuông tại A.

AB/sinC = BC/sinA = CA/sinB cái này là định lý hàm số sin nè: chứng minh một cạnh của tam giác bằng đường kính nhân sin góc đối là ra 
cosA + cosB + cosC > (sinA + sinB + sinC)/2: kẻ 3 đg` cao AD BE CF cắt nhau tại H 
=> cosB=cosAHF=HF/AH, cosC=cosAHE=HE/AH 
EF=AH.sinA => sinA = EF/AH 
EF<HF + HE(bđt tam giác) 
=> sinA < cosB + cosC 
chứng minh tương tự => đpcm