Cho P(x) là một đa thức với hệ số nguyên có P(0), P(1) là các số lẻ. CMR đa thức P(x) không thể có nghiệm là số nguyên.
Các bạn làm cách bào dễ hiểu một chút nhé
mình cảm ơn nhé
Cho đa thức f(x) có hệ số nguyên biết f(0) , f(1) là các số lẻ . CMR đa thức f(x) không có nghiệm nguyên .
Nhận xét: với a, b nguyên , n nguyên dương ta có:
aⁿ và a cùng tính chẳn, lẻ ;
với x là số lẻ thì a.xⁿ và a cùng tính chẳn lẻ
và do đó, với x là số lẻ ta có:
a.xⁿ + b.x^(x-1) cùng tính chẳn lẻ với a+b
Tổng quát: với x là số nguyên lẻ, n nguyên dương, a, b, c,... nguyên ta có:
a.xⁿ + b.x^(x-1) +...+ cx cùng tính chẳn lẻ với a+b+..+c
- - - - - -
Đặt: f(x) = a.xⁿ + b.x^(x-1) + ...+ c.x + d
có f(0) = d lẻ (do giả thiết)
f(1) = a+b+..+ c +d lẻ => a+b+..+c chẳn với x nguyên tuỳ ý ta có hai trường hợp:
nếu x chẳn thì: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn => f(x) lẻ (do d lẻ)
nếu x lẻ thì từ nhận xét trên có: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn (do a+b+..+c chẳn)
=> f(x) lẻ
Tóm lại có f(x) là số lẻ với mọi x nguyên => f(x) # 0 với mọi x nguyên
=> f(x) không có nghiệm nguyên
Nhận xét: với a, b nguyên , n nguyên dương ta có:
aⁿ và a cùng tính chẳn, lẻ ;
với x là số lẻ thì a.xⁿ và a cùng tính chẳn lẻ
và do đó, với x là số lẻ ta có:
a.xⁿ + b.x^(n-1) cùng tính chẳn lẻ với a+b
tổng quát: với x là số nguyên lẻ, n nguyên dương, a, b, c,... nguyên ta có:
a.xⁿ + b.x^(n-1) +...+ cx cùng tính chẳn lẻ với a+b+..+c
- - - - - -
đặt: f(x) = a.xⁿ + b.x^(n-1) + ...+ c.x + d
có f(0) = d lẻ (do giả thiết)
f(1) = a+b+..+ c +d lẻ => a+b+..+c chẳn
với x nguyên tuỳ ý ta có hai trường hợp:
nếu x chẳn thì: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn => f(x) lẻ (do d lẻ)
nếu x lẻ thì từ nhận xét trên có: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn (do a+b+..+c chẳn)
=> f(x) lẻ
Tóm lại có f(x) là số lẻ với mọi x nguyên => f(x) # 0 với mọi x nguyên
=> f(x) không có nghiệm nguyên
~~~~~~~~~~~~
Nhận xét: với a, b nguyên , n nguyên dương ta có:
aⁿ và a cùng tính chẳn, lẻ ;
với x là số lẻ thì a.xⁿ và a cùng tính chẳn lẻ
và do đó, với x là số lẻ ta có:
a.xⁿ + b.x^(n-1) cùng tính chẳn lẻ với a+b
tổng quát: với x là số nguyên lẻ, n nguyên dương, a, b, c,... nguyên ta có:
a.xⁿ + b.x^(n-1) +...+ cx cùng tính chẳn lẻ với a+b+..+c
- - - - - -
đặt: f(x) = a.xⁿ + b.x^(n-1) + ...+ c.x + d
có f(0) = d lẻ (do giả thiết)
f(1) = a+b+..+ c +d lẻ => a+b+..+c chẳn
với x nguyên tuỳ ý ta có hai trường hợp:
nếu x chẳn thì: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn => f(x) lẻ (do d lẻ)
nếu x lẻ thì từ nhận xét trên có: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn (do a+b+..+c chẳn)
=> f(x) lẻ
Tóm lại có f(x) là số lẻ với mọi x nguyên => f(x) # 0 với mọi x nguyên
=> f(x) không có nghiệm nguyên
~~~~~~~~~~~~
Cho P(x) là một đa thức có hệ số nguyên và P(0).P(1) là các số lẻ. chứng tỏ rằng P(x) không thể có nghiệm số nguyên
Cho P(x) là một đa thức có hệ số nguyên và P(0),P(1) là các số lẻ. chứng tỏ rằng P(x) không thể có nghiệm số nguyên
Giả sử P(x) có nghiệm a nguyên, P(x)=(x−a).Q(x);Q(x)∈Z[x]
thì P(1)=(1−a)Q(1);P(0)=(0−1)Q(0);
Chú ý (1−a) và (0−a) có một số chẵn, dẫn đến P(1), P(0) không thể cùng lẻ, dẫn đến không có nghiệm nguyên.
Giả sử P(x) có nghiệm a nguyên, P(x)=(x−a).Q(x);Q(x)∈Z[x]
thì P(1)=(1−a)Q(1);P(0)=(0−1)Q(0);
Chú ý (1−a) và (0−a) có một số chẵn, dẫn đến P(1), P(0) không thể cùng lẻ, dẫn đến không có nghiệm nguyên.
cho đa thức P(x)=ax2+bx+c với a,b,c là các số nguyên và P(0),P(1)là các số lẻ . CMR P(x) không thể có nghiệm là số nguyên
Cho đa thức P(x)=ax^3+bx^2+cx+d với P(0) , P(1) là các số lẻ. CMR P(x) không thể có nghiệm là số nguyên
Gọi nghiệm nguyên của P(x) là: k
ta có: ak3+bk2+ck+d=0ak3+bk2+ck+d=0
k.(ak2+bk+k)=−dk.(ak2+bk+k)=−d( *)
ta có: P(1)=a+b+c+dP(1)=a+b+c+d
P(0)=dP(0)=d
mà P(1); P(0) là các số lẻ
=> a+b+c+d và d là các số lẻ
mà d là số lẻ
=> a+b+c là số chẵn
Từ (*) => k thuộc Ư(d)
mà d là số lẻ
=> k là số lẻ
=> k3−1;k2−1;k−1k3−1;k2−1;k−1là các số chẵn
⇒a(k3−1)+b(k2−1)+c(k−1)⇒a(k3−1)+b(k2−1)+c(k−1) là số chẵn
=(ak3+bk2+ck)−(a+b+c)=(ak3+bk2+ck)−(a+b+c)
mà a+b+c là số chẵn
⇒ak3+bk2+c⇒ak3+bk2+c là số chẵn
Từ (*) => d là số chẵn ( vì d là số lẻ)
=> P(x) không thể có nghiệm nguyên
Cho f(x) là đa thức có các hệ số nguyên. Biết f(0) và f(1) là các số lẻ. Chứng minh ràng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên
Câu hỏi của Lê Minh Đức - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em có thể tham khảo bài tương tự tại đây nhé.
cho đa thức p(x)=ax^3+bx^2+cx+d với a,b,c,d là các số nguyên biết P(0) vàP(1) là các số lẻ cmr P(x) không thể có nghiệm nguyên
Gọi nghiệm nguyên của P(x) là: k
ta có: \(ak^3+bk^2+ck+d=0\)
\(k.\left(ak^2+bk+k\right)=-d\)( *)
ta có: \(P_{\left(1\right)}=a+b+c+d\)
\(P_{\left(0\right)}=d\)
mà P(1); P(0) là các số lẻ
=> a+b+c+d và d là các số lẻ
mà d là số lẻ
=> a+b+c là số chẵn
Từ (*) => k thuộc Ư(d)
mà d là số lẻ
=> k là số lẻ
=> \(k^3-1;k^2-1;k-1\)là các số chẵn
\(\Rightarrow a\left(k^3-1\right)+b\left(k^2-1\right)+c\left(k-1\right)\) là số chẵn
\(=\left(ak^3+bk^2+ck\right)-\left(a+b+c\right)\)
mà a+b+c là số chẵn
\(\Rightarrow ak^3+bk^2+c\) là số chẵn
Từ (*) => d là số chẵn ( vì d là số lẻ)
=> P(x) không thể có nghiệm nguyên
cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên.Biết f(0) và f(1) là các số lẻ, chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên
Giả sử F(x) là 1 đa thức với hệ số nguyên và không có số nào trong các số F(0), F(2), ... , F(2015) chia hết cho 2016. CMR: ĐA thức F(x) không có nghiệm nguyên
Câu hỏi của trần manh kiên - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo câu tương tự tại đây nhé.