Câu a) 

Ta có a + b \(\ge\)1 => a \(\ge\) 1 - b

Nên a² + b² \(\ge\) (1 - b)² + b² = 2b² - 2b + 1 = 2(b² - 2b.1/2 + 1/4 + 1/2) = 2(b - 1/2)² + 1 \(\ge\) 1

Câu b) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

(x + y)² = (1.x + 1.y)² \(\le\) (1² + 1²)(x² + y²) = 2.1 = 2

Dấu "=" xảy ra <=> x = y

câu1 : cần sửa lại là A²  + B² \(\ge\frac{1}{2}\)

Ta chứng minh được : (A+B)² \(\le2.\left(A^2+B^2\right)\) (*)

<=> A²  + B²  + 2A.B \(\le\) 2. (A²  + B²)

<=> 0 \(\le\) A²  + B²  - 2.A.B <=> 0 \(\le\) (A-B)² luôn đúng => (*) đúng

b) Áp sung câu a => (x+y)² \(\le\)2.(x² + y²) = 2 => đpcm

1) Đề sai, thử với x = -2 là thấy không thỏa mãn.

Giả sử cho rằng với đề là x không âm thì áp dụng BĐT Cauchy:

\(A=\)\(\frac{2x}{3}+\frac{9}{\left(x-3\right)^2}=\frac{x-3}{3}+\frac{x-3}{3}+\frac{9}{\left(x-3\right)^2}+2\)

\(A\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(x-3\right).\left(x-3\right).9}{3.3.\left(x-3\right)^2}}+2=3+2=5>1\)

Không thể xảy ra dấu đẳng thức.

ta có : \(a+b>=2\sqrt{ab};b+c>=2\sqrt{bc};c+a>=2\sqrt{ca}\)

=> (a+b)(b+c)(c+a)>=\(2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)

Bạn Anh làm đúng

xí câu 1:))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)

Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )

Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2

mình ko hiểu

Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có:

a² + b² >= (a + b)²/2 >= 1²/2 = 1/2 (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1/2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(a^2+b^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{1+1}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = b

úi xin lỗi bài kia thiếu ._. Đẳng thức xảy ra <=> a=b=1/2 nhé

2. Ta có : a³ + b³ + ab = ( a + b )( a² - ab + b² ) + ab

= a² - ab + b² + ac = a² + b² ( do a+b=1 )

Sử dụng kết quả ở bài trước ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=1/2