Ta thấy \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\ge\dfrac{x^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{y^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{z^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\).

Mà đẳng thức xảy ra nên ta phải có x = y = z = 0 (Do \(a^2,b^2,c^2>0\)).

Thay vào đẳng thức cần cm ta có đpcm.

Hôm nay olm.vn sẽ hướng dẫn các em giải toán nâng cao chuyên đề số chính phương. Chứng minh một số không phải là số chính phương dựa vào tính chất của số chính phương (xét chữ số tận cùng).

A = 1²⁰²¹ + 2²⁰²¹ + 3²⁰²¹+...2021²⁰²¹ + 2022²⁰²¹  

Nhóm 10 số hạng liên tiếp của tổng A thành 1 nhóm.

 Vì 2022 :  10 = 202 dư 2

Khi đó tổng A là tổng của 202 nhóm và 2021²⁰²¹ + 2022²⁰²¹

Chữ số tận cùng của mỗi nhóm là như nhau và bằng chữ số tận cùng của tổng sau: 

0²⁰²¹ + 1²⁰²¹ + 2²⁰²¹+3²⁰²¹+4²⁰²¹+5²⁰²¹+6²⁰²¹+....+9²⁰²¹

Từ những lập luận trên ta có Chữ số tận cùng của tổng A là chữ số tận cùng của B với B thỏa mãn:

B = (0²⁰²¹ + 1²⁰²¹ + 2²⁰²¹+...+9²⁰²¹) \(\times\) 202 + 2021²⁰²¹+2022²⁰²¹

Đặt C = 0²⁰²¹+1²⁰²¹ + 2²⁰²¹+...+9²⁰²¹

C = (0⁴)⁵⁰⁵.0 + (1⁴)⁵⁰⁵.1+ (2⁴)⁵⁰⁵.2 +(3⁴)⁵⁰⁵.3+(4⁴)⁵⁰⁵.4+...+(9⁴)⁵⁰⁵.9

C = 0 + 1 + \(\overline{..2}\) + \(\overline{..3}\)+ \(\overline{..4}\) + \(\overline{..5}\) + \(\overline{..6}\) + \(\overline{..7}\) + \(\overline{..8}\) + \(\overline{..9}\)

C = \(\overline{..5}\)

B = \(\overline{..5}\) \(\times\) 202 + 2021²⁰²¹+ 2022²⁰²¹

B = \(\overline{..0}\) + \(\overline{..1}\) +  ( \(\overline{..2}\)⁴ )⁵⁰⁵.2 = \(\overline{..0}\)+\(\overline{...1}\)+\(\overline{..6}\)⁵⁰⁵.2 = \(\overline{..0}\)+\(\overline{..1}\)+\(\overline{..2}\) = \(\overline{..3}\)

A = \(\overline{..3}\)  vậy A không phải là số chính phương (đpcm) vì số chính phương không thể có tận cùng là 2; 3; 7; 8

Ta có: \(\left|x+\frac{1}{2021}\right|\ge0\) ; \(\left|x+\frac{2}{2021}\right|\ge0\) ; ... ; \(\left|x+\frac{2020}{2021}\right|\ge0\) \(\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow\left|x+\frac{1}{2021}\right|+\left|x+\frac{2}{2021}\right|+...+\left|x+\frac{2020}{2021}\right|\ge0\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow2021x\ge0\Rightarrow x\ge0\)

Từ đó ta được: \(x+\frac{1}{2021}+x+\frac{2}{2021}+...+x+\frac{2020}{2021}=2021x\)

\(\Leftrightarrow2020x+\frac{1+2+...+2020}{2021}=2021x\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\left(2020+1\right)\left[\left(2020-1\right)\div1+1\right]}{2021}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{2021\cdot2020}{2021}=2020\)

Vậy x = 2020

\(\left|\frac{x+1}{2021}\right|+\left|\frac{x+2}{2021}\right|+...+\left|\frac{x+2020}{2021}\right|=2021x\)

Ta có:\(\left|\frac{x+1}{2021}\right|\ge0;\left|\frac{x+2}{2021}\right|\ge0;....;\left|\frac{x+2020}{2021}\right|\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left|\frac{x+1}{2021}\right|+\left|\frac{x+2}{2021}\right|+...+\left|\frac{x+2020}{2021}\right|\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow2021x\ge0\Rightarrow x\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{x+1}{2021}+\frac{x+2}{2021}+...+\frac{x+2020}{2021}=2021x\)

\(\Rightarrow x+\frac{1}{2021}+x+\frac{2}{2021}+...+x+\frac{2020}{2021}=2021x\)

\(\Rightarrow2020x+\frac{1+2+...+2020}{2021}=2021x\)

\(\Rightarrow x=2020\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2022}\)

\(\Rightarrow\dfrac{yz+zx+xy}{xyz}=\dfrac{1}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\left(yz+zx+xy\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)

\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+3xyz-xyz=0\)

\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+2xyz=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

\(\Rightarrow x=-y\) hoặc \(y=-z\) hoặc \(z=-x\).

-Đến đây thôi bạn, câu hỏi sai rồi ạ.

= 2021 x 45 + 2021 x 1 + 2021 x 51 + 2021 x 3

= 2021 x (45 + 1 + 51 + 3)

= 2021 x 100

=202100

Đặt \(2020-x=u;x-2021=v\)thì \(u+v=-1\)

Phương trình trở thành \(\frac{u^2+uv+v^2}{u^2-uv+v^2}=\frac{19}{49}\Leftrightarrow30u^2+30v^2+68uv=0\)

\(\Leftrightarrow15\left(u+v\right)^2+4uv=0\Leftrightarrow4uv=-15\Leftrightarrow uv=\frac{-15}{4}\)

hay \(\left(2020-x\right)\left(x-2021\right)=-\frac{15}{4}\Leftrightarrow x^2-4041x+4082416,25=0\)

Dùng công thức nghiệm tìm được x = 2022, 5 hoặc x = 2018, 5