vì tg ABC cân tại A
=> AM là đường phân giác 
=>góc BAG = góc CAG (t/c đường phân giác ) 
xét tam giác ABG và tam giác AGC có 
góc BAG = góc CAG (cmt) 
AG : chung 
AB = AC( gt ) 
=> tg AGB = tg AGC( C-G-C ) 

a: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM là đường cao và AM cũng là phân giác

Xét ΔABG và ΔACG có 

AB=AC

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)

AG chung

Do đó: ΔABG=ΔACG

b: Xét ΔBIC có 

M là trung điểm của BC

MG//IC

Do đó: G là trung điểm của BI

Xét ΔBIC có

M là trung điểm của BC

G là trung điểm của BI

Do đó: MG là đường trung bình

=>MG=1/2CI

Xét tg AGB và tg AGC có

AB=AC

AG chung

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh)

=> tg AGB = tg AGC (c.g.c)

b/

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh)

\(\Rightarrow AM\perp BC\)

\(CI\perp BC\)

=> GM//CI mà MB=MC => GB=GI (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

Xét tg BCI có

MB=MC; GB=GI (cmt) => GM là đường trung bình của tg BCI

\(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{2}CI\Rightarrow CI=2GM\)

(Tự vẽ hình)

a)

Xét ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến

=> AM đồng thời là đường phân giác, đường cao của ΔABC

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\\GM\perp BC\end{matrix}\right.\)

Vì ΔABC cân tại A

=> AB = AC (Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔABG và ΔACG có:

AB = AC(cmt)

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)(cmt)

AG chung

=> ΔABG = ΔACG(cgc)(đpcm)

b)

Có \(\left\{{}\begin{matrix}GM\perp BC\left(cmt\right)\\IC\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

=> GM // IC

Xét ΔBIG có M là trung điểm BC

Mà GM//IC

=> GM là đường trung bình của ΔBIC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}MG//IC\\IC=2.GM\left(dpcm\right)\end{matrix}\right.\)

c)

Có AG//IC(cmt)

=> \(\widehat{GAC}=\widehat{ICA}\)(2 góc so le trong)

Vì AM,BN là 2 đường trung tuyến của ΔABC

Mà AM cắt BN tại G

Nên G là trọng tâm ΔABC

=>AG = \(\dfrac{2}{3}\)AM

=>AG = 2.GM

Mà IC = 2.GM(cm câu b)

=> AG = IC

Xét ΔGAC và ΔICA có:

AG = IC(cmt)

\(\widehat{GAC}=\widehat{ICA}\)(cmt)

AN = NC(BN là đường trung tuyến)

=> ΔGAC = ΔICA(gcg)

=> AI = GC(2 cạnh tương ứng)

Mà ΔABG = ΔACG(cm câu a) => BG = CG

=> AI = BG(1)

Có \(\widehat{AGB}=\widehat{GBM}+\widehat{GMB}\)(góc ngoài tam giác)

=> \(\widehat{AGB}=\widehat{GBM}+90^0\)

=> \(\widehat{AGB}>90^0\)

=> Cạnh AB lớn nhất trong ΔABG

=> AB>BG(2)

Từ (1) và (2) => AB > AI

=> \(\widehat{AIB}>\widehat{ABI}\)

Xét ΔANG và ΔCND có 

\(\widehat{GAN}=\widehat{DCN}\)

NA=NC

\(\widehat{ANG}=\widehat{CND}\)

Do đó: ΔANG=ΔCND

Suy ra: NG=ND

Xét ΔBAC có 

BN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

BN cắt AM tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔBAC

Suy ra: \(BG=\dfrac{2}{3}BN\)

\(\Leftrightarrow NG=ND=\dfrac{1}{3}BN\)

\(\Leftrightarrow BG=GD\)

hay B và D đối xứng nhau qua G

Bài toán 1: (Hình a)

Gọi đường thẳng qua N vuông góc với AN cắt AC tại R, qua P kẻ đường thẳng song song với BC. Đường thẳng này cắt AM,AN,BC lần lượt tại S,T,K.

Ta thấy \(\Delta\)APR có AN vừa là đường cao, đường phân giác => \(\Delta\)APR cân tại A => AP = AR, NP = NR

Áp dụng hệ quả ĐL Thales \(\frac{BM}{PS}=\frac{CM}{KS}\left(=\frac{AM}{AS}\right)\)=> PS = KS

Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác: \(\frac{TK}{TP}=\frac{AK}{AP}\Rightarrow\frac{ST+SK}{TP}=\frac{AK}{AR}\)

\(\Rightarrow\frac{2ST+PT}{TP}=\frac{AR+RK}{AR}\Rightarrow\frac{2ST}{TP}=\frac{RK}{AR}\)

Dễ thấy NS là đường trung bình của  \(\Delta\)RKP => RK = 2NS. Do đó \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}\)

Đồng thời NS // AR, suy ra \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}=\frac{SQ}{QA}\)=> QT // AP (ĐL Thaels đảo)

Mà AP vuông góc PO nên QT vuông góc PO. Từ đây suy ra T là trực tâm của \(\Delta\)POQ

=> QO vuông góc PT. Lại có PT // BC nên QO vuông góc BC (đpcm).

Bài toán 2: (Hình b)

Ta có IB = IC => \(\Delta\)BIC cân tại I => ^IBC = ^ICB = ^ACB/2 => \(\Delta\)MCI ~ \(\Delta\)MBC (g.g)

=> MC² = MI.MB. Xét \(\Delta\)AHC có ^AHC = 90⁰ , trung tuyến HM => HM = MC

Do đó MH² = MI.MB => \(\Delta\)MIH ~ \(\Delta\)MHB (c.g.c) => ^MHI = ^MBH = ^MBC = ^MCI

=> Tứ giác CHIM nội tiếp. Mà CI là phân giác ^MCH nên (IH = (IM hay IM = IH (đpcm).

Bài toán 3: (Hình c)

a) Gọi đường thẳng qua C vuông góc CB cắt MK tại F, DE cắt BC tại Q, CG cắt BD tại I.

Áp dụng ĐL Melelaus:\(\frac{MB}{MC}.\frac{GA}{GB}.\frac{DC}{DA}=1\)suy ra \(\frac{DC}{DA}=2\)=> A là trung điểm DC

Khi đó G là trọng tâm của \(\Delta\)BCD. Do CG cắt BD tại I nên I là trung điểm BD

Dễ thấy \(\Delta\)BCD vuông cân tại B => BI = CM (=BC/2). Từ đó \(\Delta\)IBC = \(\Delta\)MCF (g.c.g)

=> CB = CF => \(\Delta\)BCF vuông cân ở C => ^CBA = ^CBF (=45⁰) => B,A,F thẳng hàng

=> CA vuông góc GF. Từ đó K là trực tâm của \(\Delta\)CGF => GK vuông góc CF => GK // CM

Theo bổ đề hình thang thì P,Q lần lượt là trung điểm GK,CM. Kết hợp \(\Delta\)CEM vuông ở E

=> EQ=CM/2. Áp dụng ĐL Melelaus có \(\frac{GD}{GM}.\frac{EQ}{ED}.\frac{CM}{CQ}=1\)=> \(\frac{EQ}{ED}=\frac{1}{4}\)

=> \(\frac{ED}{CM}=2\)=> DE = 2CM = BC (đpcm).

b) Theo câu a thì EQ là trung tuyến của \(\Delta\)CEM vuông tại E => EQ = QC => ^QEC = ^QCE

Vì vậy ^PEG = ^QEC = ^QCE = ^PGE => \(\Delta\)EPG cân tại P => PG = PE (đpcm).

Bạn tự vẽ hình nha!

a.

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

mà AB = 15 nên AC = 15

Tam giác ABC có:

AC < BC (15 < 18)

=> B < A (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

b.

Xét tam giác ABH và tam giác ACH có:

A1 = A2 (AH là tia phân giác của BAC)

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

B = C (tam giác ABC cân tại A)

=> Tam giác ABH = Tam giác ACH (g.c.g)

c.

AH là tia phân giác của tam giác ABC cân tại A

=> AH là trung tuyến của tam giác ABC

mà BD là trung tuyến của tam giác ABC

=> G là trọng tâm của tam giác ABC.

d.

AH là tia phân giác của tam giác ABC cân tại A

=> AH là trung trực của tam giác ABC

=> H là trung điểm của BC

=> BH = CH = BC/2 = 18/2 = 9

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABH vuông tại H có:

AB^2  =  AH^2  +  BH^2

15^2   =  AH^2  +  9^2

AH     =     12

Ta có: 

AG = 2/3 AH (tính chất trọng tâm)

=> AG = 2/3 . 12 = 8

d.

G là trọng tâm của tam giác ABC

=> CE là trung tuyến của tam giác ABC

=> E là trung điểm của AB

=> AE = BE = AB/2

Ta có: AD = CD = AC/2 (BD là trung tuyến của tam giác ABC)

mà AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

=> AE = AD 

Xét tam giác AEG và tam giác ADG có:

AE = AD (chứng minh trên)

A1 = A2 (AH là tia phân giác của tam giác ABC)

AG là cạnh chung

=> Tam giác AEG = Tam giác ADG