\(\Leftrightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\)

\(\Leftrightarrow x-y-z=2\left(\sqrt{yz}-\sqrt{3}\right)\)

Do  x;y;z;2 đều là các số hữu tỉ mà \(\sqrt{yz}-\sqrt{3}\)  vô tỉ

Nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-y-z=0\\yz=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(x;y;z\right)=\left(4;3;1\right);\left(4;1;3\right)\)

x+2can3=z+y+2can(yz)

y.z=3

z=1=> y=3; x=4

y=1=>z=3; x=4

z=1                             ;                       z=3

y=3                             ;                        y=1

x=4                             ;                        x=4

sao ra đc vậy,giải thích cho mình vs

Ai giúp e vs ạ

2. x=4; (y;z)=(3;1) ; (1;3)

bài này dễ nhưng bạn phải chứng minh bđt này đã:

\(\frac{1}{a+b+c+d}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\)

với a;b;c;d là các số dương

bạn có thể cm bđt trên bằng cách biến đổi tương đương hoặc cm bđt Schwat (Sơ-vác)

Mình là 1 phần tử đại diện còn lại là hoàn toàn tt nhé 

ta có \(\frac{1}{3\sqrt{x}+3\sqrt{y}+2\sqrt{z}}=\frac{1}{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)}\)

\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}\right)\)

Tương tự ta cm được 

\(VT\le\frac{1}{16}.4\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)\)\(=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}\)

dấu "=" khi x=y=z

Ta có:

\(1.\sqrt{1+x^2}+1.\sqrt{2x}\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(1+x^2+2x\right)}=\sqrt{2}\left(x+1\right)\)

Tương tự:

\(\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\) ; \(\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)

Cộng vế:

\(P\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)\left(x+y+z\right)\le\sqrt{2}\left(3+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right).3=6+3\sqrt{2}\)

\(P_{max}=6+3\sqrt{2}\) khi \(x=y=z=1\)