\(A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{x}-2+4}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}+\frac{4}{\sqrt{x}-2}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-2}\)

Do A nguyên nên \(\frac{4}{\sqrt{x}-2}\) nguyên

\(\Rightarrow\sqrt{x}-2\inƯ\left(4\right)\)

Mà \(\sqrt{x}-2\ge-2\Rightarrow\sqrt{x}-2\in\left\{1;-1;2;-2;4\right\}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{3;1;4;0;6\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{9;1;16;0;36\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{9;1;16;0;36\right\}\)

Lời giải:
a.

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$A^2=(\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x})^2\leq (x-1+9-x)(1+1)=16$

$\Rightarrow A\leq 4$

Vậy $A_{\max}=4$. Giá trị này đạt tại $x=5$

b.

$A=\frac{3(\sqrt{x}+2)+5}{\sqrt{x}+2}=3+\frac{5}{\sqrt{x}+2}$

Để $A$ nguyên thì $\frac{5}{\sqrt{x}+2}=m$ với $m$ nguyên dương

$\Leftrightarrow \sqrt{x}+2=\frac{5}{m}$

$\sqrt{x}=\frac{5-2m}{m}$

Vì $\sqrt{x}\geq 0$ nên $\frac{5-2m}{m}\geq 0$

Mà $m$ nguyên dương nên $5-2m\geq 0$

$\Leftrightarrow m\leq 2,5$. 

$\Rightarrow m=1; 2$

$\Rightarrow x=9; x=\frac{1}{4}$

a=3√x +11/√x +2

=3(√x +2)+5/√x +2

ĐK: \(x\ge0\)

\(A=\dfrac{3\sqrt{x}+11}{\sqrt{x}+2}\Leftrightarrow A\sqrt{x}+2A=3\sqrt{x}+11\)

\(\Leftrightarrow\left(A-3\right)\sqrt{x}=11-2A\left(1\right)\)

TH1: \(A=3\Rightarrow\) Không tồn tại x thỏa mãn.

TH2: \(A\ne3\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{11-2A}{A-3}\ge0\)

\(\Rightarrow3< A\le\dfrac{11}{2}\)

Vậy \(3< A\le\dfrac{11}{2}\) thì \(A\in Z\).

Ta có : \(M=\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1+5}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}+\frac{5}{\sqrt{x}+1}=1+\frac{5}{\sqrt{x}+1}\)

Để M nguyên thì 5 chia hết cho \(\sqrt{x}+1\)

Nên : \(\sqrt{x}+1\inƯ\left(5\right)=\left\{-5;-1;1;5\right\}\)

Ta có bảng : 

bài có nhầm đề không bạn? vì tử = mẫu thì M=1 rồi kìa

Nhầm đề bài :p

Ta có \(M=\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-2}=\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-2}+\frac{4}{\sqrt{a}-2}=1+\frac{4}{\sqrt{a}-2}\)

Để M nguyên thì \(\frac{4}{\sqrt{a}-2}\)nguyên

Ta có bảng sau:

Vậy tại a là 0;16;2 thì M nguyên

Đề bài đâu có nói căn a trừ 2 nguyên đâu :)

Ủa mik ghi là \(\frac{4}{\sqrt{a}-2}\)nguyên chứ ai mà ghi cái mẫu nó nguyên

a, \(A=\left(\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right):\frac{-\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}}\)

\(A=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right):\frac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(A=\frac{\sqrt{x}-2-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\frac{-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}}\)

\(A=\frac{4}{\sqrt{x}+2}\)

b, \(A=\frac{4}{\sqrt{x}+2}=\frac{2}{3}\)

=> 2cawn x + 4 = 12

=> 2.căn x = 8

=> căn x = 4

=> x = 16 (thỏa mãn)

c, có A = 4/ căn x + 2 và B  = 1/căn x - 2

=> A.B = 4/x - 4 

mà AB nguyên

=> 4 ⋮ x - 4

=> x - 4 thuộc Ư(4) 

=> x - 4 thuộc {-1;1;-2;2;-4;4}

=> x thuộc {3;5;2;6;0;8} mà x > 0 và x khác 4

=> x thuộc {3;5;2;6;8}

d, giống c thôi