ĐK: \(x\ge0\)
\(A=\dfrac{3\sqrt{x}+11}{\sqrt{x}+2}\Leftrightarrow A\sqrt{x}+2A=3\sqrt{x}+11\)
\(\Leftrightarrow\left(A-3\right)\sqrt{x}=11-2A\left(1\right)\)
TH1: \(A=3\Rightarrow\) Không tồn tại x thỏa mãn.
TH2: \(A\ne3\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{11-2A}{A-3}\ge0\)
\(\Rightarrow3< A\le\dfrac{11}{2}\)
Vậy \(3< A\le\dfrac{11}{2}\) thì \(A\in Z\).
Lời giải:
Đặt biểu thức là $A$
$A=\frac{3(\sqrt{x}+2)+5}{\sqrt{x}+2}=3+\frac{5}{\sqrt{x}+2}$
Dễ thấy với $x\geq 0$ thì: $A>3$
$\sqrt{x}+2\geq 2\Rightarrow A\leq 3+\frac{5}{2}=\frac{11}{2}$
Vậy $3< A\leq \frac{11}{2}$
$A\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow A\in \left\{4;5\right\}$
$\Leftrightarrow 3+\frac{5}{\sqrt{x}+2}\in\left\{4;5\right\}$
$\Leftrightarrow x\in\left\{9; \frac{1}{4}\right\}$