3^(3*15)+4.4^(2*51)

(27)^15+4.16^51

có 27 chia 13 dư 1 

16 chia 13 dư 3 =>4.16^51 chia 3 dư 12

1+12=13 vậy chia hết cho 13

27 chia 11 dư 5

16 chia 11 dư 5

5+5*4=25 ko chia cho 11

hay nhưng viết mỏi tay

Ta có:

\(4^3=64\equiv-1\left(mod13\right)\Rightarrow\left(4^3\right)^{35}=4^{105}\equiv-1\left(mod13\right)\)

Vậy \(A=3^{105}+4^{105}\equiv1+\left(-1\right)\left(mod13\right)\) hay \(A⋮13\left(1\right)\)

\(3^5=243\equiv1\left(mod11\right)\Rightarrow\left(3^5\right)^{21}=3^{105}\equiv1\left(mod11\right)\)

Vậy \(A=3^{105}+4^{105}\equiv1+1\left(mod11\right)\) hay \(A=3^{105}+4^{105}\equiv2\left(mod11\right)\)

=> A không chia hết cho 11 (2)

Từ (1) và (2) => đcpm

Chứng minh chia hết cho 13:

\(A=3^{105}+4^{105}\\ A=\left(3^3\right)^{35}+\left(4^3\right)^{35}\\ A=27^{35}+64^{35}\\ A=\left(27+64\right)\left(27^{34}-27^{33}.35+.......+35^{34}\right)\)

\(A=91\left(27^{34}-27^{33}.35+........+35^{34}\right)\)

\(A=13.7\left(27^{34}-27^{33}.35+........+35^{34}\right)\) chia hết cho 13

Chứng minh không chia hết cho 11

\(3^{105}=243^{21}=\left(242+1\right)^{21}=242^{21}+2.242+1^{21}=242^{21}+2.242+1\)

Vì \(242\) chia hết cho 11 nên \(242^{21}+2.242+1\) chia 11 dư 1

\(4^{105}=1024^{21}=\left(1023+1\right)^{21}=1023^{21}+2.1023+1\)

Vì \(1023\) chia hết cho 11 nên \(1023^{21}+2.1023+1\) chia 11 dư 1

Vậy tổng \(A=3^{105}+4^{105}\) chia 11 dư 2 \(\left(1+1\right)\)

Vậy A không chia hết cho 11 (2)

a)

Ta có: \(222^{333}=\left(222^3\right)^{111}\equiv1^{111}=1\left(mod13\right)\)

\(\Rightarrow222^{333}+333^{222}\equiv1+333^{222}=1+\left(333^2\right)^{111}\)

\(\equiv1+12^{111}\equiv1+12^{110}\cdot12\equiv1+\left(12^2\right)^{55}\cdot12\)

\(\equiv1+1\cdot12\equiv13\equiv0\left(mod13\right)\)

Vậy $222^{333}+333^{222}$ chia hết cho $13.$

b) Ta có:

\(3^{105}\equiv\left(3^3\right)^{35}\equiv1^{35}\equiv1\) (mod13)

\(\Rightarrow3^{105}+4^{105}\equiv1+4^{105}\equiv1+\left(4^3\right)^{35}\)

\(\equiv1+12^{35}\equiv1+\left(12^2\right)^{17}\cdot12\equiv1+1\cdot12\equiv13\equiv0\left(mod13\right)\)

Vậy $3^{105}+4^{105}$ chia hết cho $13.$

Lại có:

\(3^{105}\equiv\left(3^3\right)^{35}\equiv5^{35}\equiv\left(5^5\right)^7\equiv1\left(mod11\right)\)

\(4^{105}\equiv\left(4^3\right)^{35}\equiv9^{35}\equiv\left(9^5\right)^7\equiv1\left(mod11\right)\)

Từ đây:\(3^{105}+4^{105}\equiv1+1\equiv2\left(mod11\right)\)

Vậy $3^{105}+4^{105}$ không chia hết cho $11.$

P/s: Rất lâu rồi không giải, không chắc.

khó quá

3^105 + 4^105 = 27^35 + 64^35 chia hết cho 27+64=91

Mà 91 chia hết cho 13 nên 3^105 + 4^105 chia hết cho 13
91 ko chia hết cho 11 nên 3^105+4^105 ko chia hết cho 11 

lấy máy tính

3^105+4^105=27^35+64^35 chia het cho 27+64=91

ma 91 chia het co 13 nên a chia het cho 13

sau tự lí luận nhà

Theo mình thì giải thế này:

Lũy thừa của 3 và 4 lên thì chỉ chia hết cho chúng lũy thừa lên hoặc chúng.

Mà 3 và 4 nguyên tố cùng nhau với 11 nên không chia hết cho 11.

Vậy ta có điều cần chứng minh.

Chúc em học tốt^^

Ta có công thức : \(a^{2k+1}+b^{2k+1}⋮a+b\forall a;b\in Z;k\in N\)

Áp dụng ta đc :

a )\(2^{70}+3^{70}=\left(2^2\right)^{35}+\left(3^2\right)^{35}=4^{35}+9^{35}⋮4+9=13\) (đpcm)

b)\(3^{105}+4^{105}=\left(3^5\right)^{35}+\left(4^5\right)^{35}=243^{35}+1024^{35}⋮243+1024=1267=181.7⋮181\)(đpcm)