a) Tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại C.CM cắt (I) tại N'

Xét \(\Delta CAM\) và \(\Delta CN'A:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ACN'chung\\\angle CAM=\angle CN'A\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CAM\sim\Delta CN'A\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{CA}{CN'}=\dfrac{CM}{CA}\Rightarrow CA^2=CM.CN'\)

mà \(CA^2=CB^2\Rightarrow CB^2=CM.CN'\Rightarrow\dfrac{CB}{CM}=\dfrac{CN'}{CB}\)

Xét \(\Delta CBM\) và \(\Delta CN'B:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BCN'chung\\\dfrac{CB}{CM}=\dfrac{CN'}{CB}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CBM\sim\Delta CN'B\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle CBB=\angle CN'B\Rightarrow N'\in\left(J\right)\)

\(\Rightarrow N\equiv N'\Rightarrow MN\) luôn đi qua điểm C mà A,B cố định

\(\Rightarrow C\) cố định \(\Rightarrow\) đpcm

b) mình chỉ chứng minh được N thuộc 1 đường tròn cố định thôi,còn chạy trên đoạn thẳng hình như là ko được

Ta có: \(\angle ANB=\angle ANM+\angle BNM=\dfrac{1}{2}\angle AIM+\dfrac{1}{2}\angle BJM\)

Xét \(\Delta AIM\) và \(\Delta AOB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle OABchung\\\dfrac{IA}{OA}=\dfrac{IM}{OB}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AIM\sim\Delta AOB\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle AIM=\angle AOB\)

Tương tự \(\Rightarrow\angle BJM=\angle AOB\)

\(\Rightarrow\angle ANB=\dfrac{1}{2}\angle AOB+\dfrac{1}{2}\angle AOB=\angle AOB\)

\(\Rightarrow N\in\left(AOB\right)\) mà A,O,B cố định \(\Rightarrow N\in\left(AOB\right)\) cố định

a, Chú ý:  A M O ^ = A I O ^ = A N O ^ = 90 0

b,  A M B ^ = M C B ^ = 1 2 s đ M B ⏜

=> DAMB ~ DACM (g.g)

=> Đpcm

c, AMIN nội tiếp => A M N ^ = A I N ^

BE//AM => A M N ^ = B E N ^

=>   B E N ^ = A I N ^ => Tứ giác BEIN nội tiếp =>  B I E ^ = B N M ^

Chứng minh được:  B I E ^ = B C M ^ => IE//CM

d, G là trọng tâm DMBC Þ G Î MI

Gọi K là trung điểm AO Þ MK = IK = 1 2 AO

Từ G kẻ GG'//IK (G' Î MK)

=>  G G ' I K = M G M I = M G ' M K = 2 3 I K = 1 3 A O  không đổi   (1)

MG' =  2 3 MK => G' cố định (2). Từ (1) và (2) có G thuộc (G'; 1 3 AO)

Câu a),b) tự làm nhé , mình chỉ giúp câu c) thôi . 

OI vuông góc NP ( Do I là trung điểm của MP ) , OF vuông góc NP ( Do OF là đường trung trực của NP )
=> O,I,F thẳng hàng
Tam giác ONF vuông tại N , đường cao NI
=> ON^2 = OI.OF
Mà ON=OA
OA^2 = OH.OM
=> OH.OM=OI.OF
=> OH/OI=OF/OM
Xét tam giác OIM và tam giác OHF có
góc MOF chung
OH/OI=OF/OM
=> Tam giác OIM đồng dạng tam giác OHF
=> góc OHF=góc OIM (=90 độ )
OH vuông HF
mà OH vuông AB
=> A,B,F thẳng hàng
=> F nằm trên đường thẳng cố định AB khi đường thẳng d quay quanh M mà vẫn thỏa mãn các yêu cầu đề bài
Điều phải chứng minh