Mình chỉ biết là theo định lí Fermat lớn thì pt \(x^n+y^n=z^n\) ko có nghiệm nguyên khác 0 khi \(n\ge3\) chứng đừng nói tới số nguyên tố.

Do \(p^4+q^4=r^4\)mà p, q, r là số nguyên tố nên r > q, r > p

\(\Rightarrow\)Chắc chắn r là số lẻ.

\(\Rightarrow\)p hoặc q là số chẵn.

Giả sử p chẵn \(\Rightarrow\)p = 2.

Ta có:\(16+q^4=r^4\)

\(\Leftrightarrow r^4-q^4=16\)

\(\Leftrightarrow\left(r^2-q^2\right)\left(r^2+q^2\right)=16\)

\(\Rightarrow r^2-q^2,r^2+q^2\inƯ\left(16\right)\)

Ta lại có: \(r^2-q^2< r^2+q^2\) 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}r^2-q^2=1\\r^2+q^2=16\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}r=\frac{\sqrt{34}}{2}\\q=\frac{\sqrt{30}}{2}\end{cases}}}\)(Không thỏa mãn)

Vậy không có giá trị nào của p, q, r thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Giả sử có 3 số nguyên là p;q;r sao cho \(p^q+q^p=r\)

Khi đó r > 3 nên r là số lẻ

=> p.q không cùng tính chẵn lẻ

Giả sử p=2 là q là số lẻ khi đó \(2^q+q^2=r\)

Nếu q không chia hết cho 3 thì q^2 =1 (mod3)

Mặt khác vì q lẻ nên \(2^q\)= -1(mod3)

Từ đó suy ra: \(2^q+q^2⋮3\Rightarrow r⋮3\)(vô lí)

Vậy q=3 lúc đó \(r=2^3+3^2=17\)là số nguyên tố

Vậy p=2; q=3, r=17 hoặc p=3; q=2, r=17