Số thừa số của dãy số là: (993 - 3) : 10 + 1 = 100 (thừa số)

Ta thấy cứ 4 số 3 ghép lại thì được một số có tận cùng là 1

Số cặp ghép được là: 100 : 4 = 25

Ta có dãy số sau: \(...1\times...1\times..........\times...1=...1\)

Vậy dãy số có tận cùng là chữ số 1

Bài 1:

1³ + 2³ = 1 + 8 = 9 = 3² (là một số chính phương)

1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36 = 6² (là một số chính phương)

1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10² (là số cp)

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225 = (15)² là số cp

Bài 2:

126² + 1 = \(\overline{..6}\) + 1 = \(\overline{...7}\) (không phải số chính phương)

100! + 8 = \(\overline{...0}\) + 8 = \(\overline{...8}\) (không phải là số chính phương)

101² - 3 \(\overline{..01}\) - 3 = \(\overline{...8}\) (không phải là số chính phương)

10⁷ + 7 = \(\overline{..0}\) + 7 = \(\overline{..7}\) (không phải là số chính phương)

11 + 11² + 11³ = \(\overline{..1}\)+ \(\overline{..1}\)+ \(\overline{..1}\) = \(\overline{...3}\) (không phải số chính phương)

Bài 3: 

3² + 2² = 9 + 4 = 13 (không phải là số chính phương)

6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² (là số chính phương)

2.3.45.7.9.11.13 + 2018 = \(\overline{...0}\) + 2018 = \(\overline{..8}\) (không phải là số cp)

Bài 4 giống bài 2

\(A=\frac{7}{3\times13}+\frac{7}{13\times23}+...+\frac{7}{53\times63}\)

\(A=\frac{7}{10}.\left[\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{1}{13}-\frac{1}{23}\right)+....+\left(\frac{1}{53}-\frac{1}{63}\right)\right]\)

\(A=\frac{7}{10}.\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{23}+....+\frac{1}{53}-\frac{1}{63}\right)\)

\(A=\frac{7}{10}.\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{63}\right)\)

\(A=\frac{7}{10}.\frac{20}{63}\)

\(A=\frac{2}{9}\)

A=7*(1/3*13+1/13*23+1/23*33+1/33*43+1/43*53+1/53*63)

A=7/10(1/3-1/13+1/13-1/23+1/23-1/33+1/33-1/43+1/43-1/53+1/53-1/63)

A=7/10*(1/3-1/63)

A=7/10*20/63

A=2/9

\(\left(1^2+2^3+3^4+4^5\right)\left(1^3+2^3+3^3+4^3\right)\left(3^8-81^2\right)\\ =\left(1^2+2^3+3^4+4^5\right)\left(1^3+2^3+3^3+4^3\right)\left[3^8-\left(3^4\right)^2\right]\\ =\left(1^2+2^3+3^4+4^5\right)\left(1^3+2^3+3^3+4^3\right)\left(3^8-3^8\right)\\ =\left(1^2+2^3+3^4+4^5\right)\left(1^3+2^3+3^3+4^3\right).0=0\)

\(\left(1^2+2^3+3^4+4^5\right)\left(1^3+2^3+3^3+4^3\right)\left(3^8-81^2\right)=\left(1^2+2^3+3^4+4^5\right)\left(1^3+2^3+3^3+4^3\right)\left(3^8-3^8\right)=\left(1^2+2^3+3^4+4^5\right)\left(1^3+2^3+3^3+4^3\right).0=0\)

\(1^3+2^3+\cdots+10^3\)

\(=\left(1+2+\cdots+10\right)^3\)

\(=\left(10\cdot\frac{11}{2}\right)^3=\left(5\cdot11\right)^3=55^3\)

=166375