n . ( n + 2 ) . ( n + 7 )

= n . n . n ( 2 + 7 )

= n³ ( 2 + 7 )

= n³ . 9 

Vì n³ bắt buộc phải chia hết cho 3 và 9 chia hết cho 3

=> n . ( n + 2 ) . ( n + 7 ) sẽ chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên

n.(n+2).(n+7)

=n.n.n.(2+7)

=n^3.(2+7)

=2^3.9

n^3 chia hết cho 3;9 nên n.(n+2).(2+7) xẽ chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên

xét n=3k=>n(n+2)(n+7) chia hết cho 3(1)

xét n=3k+1=>n+2=3k+3=3(k+1)

=>n(n+2)(n+7) chia hết cho 3(2)

xét n=3k+2=>n+7=3k+9=3(k+3)

=>n(n+2)(n+7) chia hết cho 3(3)

từ (1);(2);(3)=>n(n+2)(n+7) chia hết cho 3

=>đpcm

n . ( n + 2 ) . ( n + 7 ) 

= n . n . n . ( 2 + 7 )

= n³ . 9 

Ta thấy 9 chia hết cho 3

n³ chắc chắn phải chia hết cho 3

=> Biểu thức trên chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên

Ta có: \(5.19^n+1\equiv2.1^n+1\equiv0\left(mod3\right)\)=> ĐPCM

a: Với n=3 thì \(n^3+4n+3=3^3+4\cdot3+3=42⋮̸8\) nha bạn

b: Đặt \(A=n^3+3n^2-n-3\)

\(=\left(n^3+3n^2\right)-\left(n+3\right)\)

\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

n lẻ nên n=2k+1

=>\(A=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=2k\cdot\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Vì k;k+1;k+2 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮3!=6\)

=>\(A=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮6\cdot8=48\)

c: 

d: Đặt \(B=n^4-4n^3-4n^2+16n\)

\(=\left(n^4-4n^3\right)-\left(4n^2-16n\right)\)

\(=n^3\left(n-4\right)-4n\left(n-4\right)\)

\(=\left(n-4\right)\left(n^3-4n\right)\)

\(=n\left(n-4\right)\left(n^2-4\right)\)

\(=\left(n-4\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot n\cdot\left(n+2\right)\)

n chẵn và n>=4 nên n=2k

B=n(n-4)(n-2)(n+2)

\(=2k\left(2k-2\right)\left(2k+2\right)\left(2k-4\right)\)

\(=2k\cdot2\left(k-1\right)\cdot2\left(k+1\right)\cdot2\left(k-2\right)\)

\(=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k-2\right)\)

Vì k-2;k-1;k;k+1 là bốn số nguyên liên tiếp

nên \(\left(k-2\right)\cdot\left(k-1\right)\cdot k\cdot\left(k+1\right)⋮4!=24\)

=>B chia hết cho \(16\cdot24=384\)

a) Gọi a+4b là c, 10a+b là d.Ta có:

a+4b= c

10a+b = d

=> 3a+ 12b =3c

10a + b = d

=> 3c+d = 10a+3a+12b+b = 13a + 13b =13(a+b) => 3c + d chia hết cho 13

Mà:  3c+d chia hết cho 13

        3c chia hết cho 13

=> d chia hết cho 13 hay 10a+ b chia hết cho 13

\(2005^n\equiv1\left(mod167\right)\)

\(1897^n\equiv60^n\left(mod167\right)\)

\(168^n\equiv1\left(mod167\right)\)

\(\Rightarrow A\equiv1+60^n-60^n-1\equiv0\left(mod167\right)\)

\(\Rightarrow A⋮167\)

Tương tụ ta co:

\(\hept{\begin{cases}A⋮4\\A⋮3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow A⋮2004\)