Sửa lại đề \(CM\)\(\frac{a}{c}=\frac{\left(a+20112b\right)^2}{\left(b+2012c\right)^2}\)

Có \(a,b,c\in R;a,b,c\ne0\)và \(b^2=ac\)

Ta có \(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)

Lại có \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{2012b}{2012c}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a+2012b}{b+2012c}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{\left(a+2012b\right)^2}{\left(b+2012c\right)^2}\Rightarrow\frac{a^2}{ac}=\frac{\left(a+2012b\right)^2}{\left(b+2012c\right)^2}\)

Hay \(\frac{a}{c}=\frac{\left(a+2012b\right)^2}{\left(b+2012c\right)^2}\)

\(\frac{\left(a+2012.b\right)^2}{\left(b+2012.c\right)^2}=\frac{a^2+2.2012.a.b+2012^2.b^2}{b^2+2.2012.b.c+2012^2.c^2}=\frac{a^2+2.2012.a.b+2012^2.a.c}{a.c+2.2012.b.c+2012^2.c^2}=\)

\(=\frac{a\left(a+2.2012.b+2012^2.c\right)}{c\left(a+2.2012.b+2012^2.c\right)}=\frac{a}{c}\)

Xem lại đề bài

Đề thiếu rồi nhé: \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)

Quá ez:))

Ta có: \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\)

\(=\left(\frac{a^2}{4}+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}+c^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}+d^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}+e^2\right)\)

\(\ge2\sqrt{\frac{a^2}{4}\cdot b^2}+2\sqrt{\frac{a^2}{4}\cdot c^2}+2\sqrt{\frac{a^2}{4}\cdot d^2}+2\sqrt{\frac{a^2}{4}\cdot e^2}\)

\(=ab+ac+ad+ae=a\left(b+c+d+e\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{a}{2}=b=c=d=e\)

Sửa đề a² + b² + c² + d² + e² ≥ a( b + c + d + e )

a² + b² + c² + d² + e² ≥ a( b + c + d + e )

<=> a² + b² + c² + d² + e² ≥ ab + ac + ad + ae

Nhân 4 vào từng vế

<=> 4( a² + b² + c² + d² + e² ) ≥ 4( ab + ac + ad + ae )

<=> 4a² + 4b² + 4c² + 4d² + 4e² ≥ 4ab + 4ac + 4ad + 4ae

<=> 4a² + 4b² + 4c² + 4d² + 4e² - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae ≥ 0

<=> ( a² - 4ab + 4b² ) + ( a² - 4ac + 4c² ) + ( a² - 4ac + 4d² ) + ( a² - 4ae + 4e² ) ≥ 0

<=> ( a - 2b )² + ( a - 2c )² + ( a - 2d )² + ( a - 2e )² ≥ 0 ( đúng )

Vậy bđt được chứng minh

Dấu "=" xảy ra <=> \(b=c=d=e=\frac{a}{2}\)

Áp dụng BĐT Bunyacovsky cho hai bộ ba số (a,b,c) và (1,1,1) ta có:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Ta se cm:

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\left(ld\right)\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge1\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)

Câu 9 : Giải

\(\dfrac{18n+3}{21n+7}\)= \(\dfrac{3\left(6n+1\right)}{7\left(3n+1\right)}\) theo mình thấy thì các số 3 và 7 ; 3n+1 và 6n+1 là một số đôi nguyên tố cùng nhau

Cho nên, để phân số \(\dfrac{18n+3}{21n+7}\) là phân số tối giản thì 6n+1 không chia hết cho 7

Từ đó => n = - 7k + 1 (k thuộc Z)

\(\left(a+b+c+1\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)+6ab\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)+6ab-\left(a+b+c+1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(4a^2+4b^2+c^2+1+4ab-2ac-2a-2bc-2b+2c\right)+\frac{3}{2}\left(c^2-2c+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(2a+2b-c-1\right)^2+\frac{3}{2}\left(c-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu đẳng thức bạn tự xét nhé :)