Đặt \(z=x+yi\Rightarrow x^2+y^2=2\)

\(\left(z+2i\right)\left(\overline{z}-2\right)=\left(x+\left(y+2\right)i\right)\left(x-2-yi\right)\)

\(=x\left(x-2\right)+y\left(y+2\right)+\left[\left(x-2\right)\left(y+2\right)-xy\right]i\)

\(=x^2+y^2-2x+2y+\left(2x-2y-4\right)i\)

Số phức đã cho thuần ảo khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=2\\x^2+y^2-2x+2y=0\\2x-2y-4\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=2\\y=x-1\\x-y-2\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2};\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\right);\left(\dfrac{1-\sqrt{3}}{2};\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)\)

Có 2 số phức thỏa mãn

đặc \(z=a+bi\) với \(\left(a;b\in R;i^2=-1\right)\)

ta có : \(\left|z-\overline{z}+2i\right|=\left|\dfrac{3}{2}z+\dfrac{1}{2}\overline{z}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|a+bi-a+bi+2i\right|=\left|\dfrac{3}{2}a+\dfrac{3}{2}bi+\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}bi\right|\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2b+2\right)^2}=\sqrt{\left(2a+b\right)^2}\) \(\Leftrightarrow2b+2=2a+b\Leftrightarrow a=\dfrac{b}{2}+1\)

ta có : \(P=\left|z-3\right|=\left|a+bi-3\right|=\sqrt{\left(a-3\right)^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow P=\sqrt{\left(\dfrac{b}{2}+1-3\right)^2+b^2}=\sqrt{\left(\dfrac{b}{2}-2\right)^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow P=\sqrt{\dfrac{5b^2}{4}-2b+4}\ge\sqrt{4-\dfrac{\left(-2\right)^2}{4.\dfrac{5}{4}}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\)

dấu "=" xảy ra khi \(b=\dfrac{2}{2.\dfrac{5}{4}}=\dfrac{4}{5}\) và \(a=\dfrac{7}{5}\) \(\Leftrightarrow z=\dfrac{7}{5}+\dfrac{4}{5}i\)

Đặt \(z=x+yi\)

\(\left|x+yi+x-yi+2\right|+2\left|x+yi-x+yi-2i\right|\le12\)

\(\Leftrightarrow\left|2x+2\right|+4\left|\left(y-1\right)i\right|\le12\)

\(\Leftrightarrow\left|x+1\right|+2\left|y-1\right|\le6\)

Tập hợp z là miền trong hình thoi (gồm cả biên) với 4 đỉnh: \(A\left(-7;1\right)\) ; \(B\left(-1;4\right)\) ; \(C\left(5;1\right)\) ; \(D\left(-1;-2\right)\)

\(P^2=\left|z-4-4i\right|^2=\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2\)  có tập hợp là đường tròn (C) tâm \(I\left(4;4\right)\) bán kính \(R=P>0\) sao cho (C) và hình thoi ABCD có ít nhất 1 điểm chung

Từ hình vẽ ta thấy \(P_{max}\) khi (C) đi qua A \(\Rightarrow P=IA\) và \(P_{min}\) khi (C) tiếp xúc BC  \(\Rightarrow P=d\left(I;BC\right)\)

\(\overrightarrow{IA}=\left(-11;-3\right)\Rightarrow M=IA=\sqrt{130}\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(6;-3\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận (1;2) là 1 vtpt

Phương trình BC: \(1\left(x+1\right)+2\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow x+2y-7=0\)

\(\Rightarrow m=d\left(I;BC\right)=\dfrac{\left|4+2.4-7\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow M+m=\sqrt{130}+\sqrt{5}\)

Cho z là một số nào đó (vd: z = 2 + 3i) rồi xét đáp án

=> chọn câu C

Chọn C.

Vậy, có 2 số phức z thỏa mãn yêu cầu đề bài.