Ta có \(a+b+c+d=0\Leftrightarrow a+c=-\left(b+d\right)\Leftrightarrow\left(a+c\right)^3=\left[-\left(b+d\right)\right]^3\Leftrightarrow a^3+3a^2c+3ac^2+c^3=-b^3-3b^2d-3bd^2-d^3\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=-3a^2c-3ac^2-3b^2d-3bd^2\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=-3ac\left(a+c\right)-3bd\left(b+d\right)\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3ac\left(b+d\right)-3bd\left(b+d\right)\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(b+d\right)\left(ac-bd\right)\)Vậy \(a+b+c+d=0\) thì \(a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(b+d\right)\left(ac-bd\right)\)

(a+b)(c+d)-(a+d)(b+c)=ac+bc+ad+bd-ab-ac-cd-bd

=bc+ad-ab-cd=a(d-b)-c(d-b)=(a-c)(d-b)

\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge ab+ac+ad+ae\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a\left(b-c-d-e\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(b^2-ab+\frac{1}{4}a^2\right)+\left(c^2-ac+\frac{1}{4}a^2\right)+\left(d^2-ad+\frac{1}{4}a^2\right)+\left(e^2-ae+\frac{1}{4}a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(b+\frac{1}{2}a\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}a\right)^2+\left(d+\frac{1}{2}a\right)^2+\left(e+\frac{1}{2}a\right)^2\ge0\left(2\right)\)

( 2 ) đúng => ( 1 ) đúng 

ai nhanh minh k nha ....

a.(b-c)-a.(b+d)=-a.(c+d)

a.b-a.c-a.b+a.d=-a.(c+d)

(a.b-a.b)-(a.c+a.d)=-a.(c+d)

0-a.(c+d)=-a.(c+d)

-a.(c+d)=-a.(c+d)

Vậy a.(b-c)-a.(b+d)=-a.(c+d).

Dùng phép khai triển.