Dễ thấy a,b,c là độ dài của tam giác nên

a + b - c > 0 ; b + c - a > 0 ; c+a-b > 0

Theo Cauchy-Schwarz thì

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c = 1

Ta có: Vì chu vi của tam giác là 3 nên a + b + c = 3

Xét: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

Tương tự CM được:

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\) và \(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{2}{a}\)

Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:

\(2VT\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3^2}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

cách khác @@

Theo AM-GM ta có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\left(a+b-c\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{a+b-c}.\frac{a+b-c}{1}}=2\)

Tương tự \(\frac{1}{b+c-a}+\left(b+c-a\right)\ge2\)

\(\frac{1}{c+a-b}+\left(c+a-b\right)\ge2\)

Cộng theo vế : \(LHS+2\left(a+b+c\right)-a-b-c\ge6\)

\(< =>LHS+3\ge6< =>LHS\ge3\)

Dấu = xảy ra \(< =>a=b=c=1\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ta có:

a<b+ca<b+c 
--> a+a<a+b+ca+a<a+b+c 
--> 2a<22a<2 
--> a<1a<1 

Tương tự ta có : b<1,c<1b<1,c<1 

Suy ra: (1−a)(1−b)(1−c)>0(1−a)(1−b)(1−c)>0 
⇔ (1–b–a+ab)(1–c)>0(1–b–a+ab)(1–c)>0 
⇔ 1–c–b+bc–a+ac+ab–abc>01–c–b+bc–a+ac+ab–abc>0 
⇔ 1–(a+b+c)+ab+bc+ca>abc1–(a+b+c)+ab+bc+ca>abc 

Nên abc<−1+ab+bc+caabc<−1+ab+bc+ca 
⇔ 2abc<−2+2ab+2bc+2ca2abc<−2+2ab+2bc+2ca 
⇔ a2+b2+c2+2abc<a2+b2+c2–2+2ab+2bc+2caa2+b2+c2+2abc<a2+b2+c2–2+2ab+2bc+2ca 
⇔ a2+b2+c2+2abc<(a+b+c)2−2a2+b2+c2+2abc<(a+b+c)2−2 
⇔ a2+b2+c2+2abc<22−2a2+b2+c2+2abc<22−2 , (do a+b=c=2a+b=c=2 )
⇔ dpcm

Áp dụng bđt \(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}+\frac{p^2}{z}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{x+y+z}\)

được : \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a+c+a-b}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)

Chu vi bằng 4 nên tất cả các cạnh phải nhỏ hơn 2

suy ra a^2 +b^2 +c^2 < 2(a+b+c) =8

Từ gt suy ra a < b + c nên 2a < a + b + c = 2

\(\Rightarrow a< 1\).

Chứng minh tương tự: \(b< 1;c< 1\).

Do đó \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)< 0\Leftrightarrow abc< ab+bc+ca-1\) (Do a + b + c = 2)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca-1\right)=\left(a+b+c\right)^2-2=2\) (đpcm).