Ta gọi UWCLN của 2n-1 và 4n+2 là d

Ta có 2n-1 chia het cho d vậy 4n-2 chia hết cho d

         4n+2 chia hết cho d vậy 4n+2-4n-2 chia het cho d

Vậy 4 chia hết cho d nên d=1 để 2n-1/4n+2 là tối giản

Vậy 2n-1/4n+2 là tối giản   

a)gọi d là ƯCLN (3n-1;6n-3)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n-1⋮d\\6n-3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n-2⋮d\\6n-3⋮d\end{cases}}\)

=> (6n-3)-(6n-2)\(⋮\)d

\(\Rightarrow1⋮d\)

=>d=1

\(\Rightarrow\frac{3n-1}{6n-3}\)là pstg(ĐCCM)

b) Gọi d là ƯCLN(2n+11;3n+16)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+11⋮d\\3n+16⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+33⋮d\\6n+32⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(6n+33\right)-\left(6n+32\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

=>d=1

Vậy\(\frac{2n+11}{3n+16}\) Là pstg(ĐCCM)

Tớ giải xong rồi ai nhớ nha k cho tôi đi. 

Gọi d là ước chung lớn nhất của 3n+1 và 4n+1 (d thuộc N*)

Ta có : 3n+1 chia hết cho d

            4n +1 chia hết cho d

==> (4n+1) - (3n+1)  chia hết cho d

 Hay:          n             chia hết cho d

==>            3n          chia hết cho d

mà        3n+1           chia hết cho d (cmt)

==> (3n+1) - 3n       chia hết cho d

Hay:       1               chia hết cho d

mà           d thuộc N*

==> d = 1 

==> 3n+1 và 4n+1 nguyên tố cùng nhau

==> 3n+1/4n+1 là phân số tối giản. (đpcm)

Gọi d là ƯCLN  ( 3n + 1; 4n + 1 )

\(\Rightarrow\)\(3n+1⋮\)d \(\Rightarrow\)\(4.\left(3n+1\right)⋮\)d   \(\left(1\right)\)

\(\Rightarrow4n+1⋮\)d \(\Rightarrow\)\(3.\left(4n+1\right)⋮\) d \(\Rightarrow\)\(12n+3⋮\)d \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)\(\Rightarrow\)\(\text{[}\left(12n+4\right)-\left(12n+3\right)\text{]}⋮\)d 

\(\Rightarrow1⋮\)d \(\Rightarrow\)d = 1

Vì ƯCLN  ( 3n + 1 ; 4n + 1 ) = 1 nên \(\frac{3n+1}{4n+1}\)là phân số tối giản

Đặt \(d=ƯC\left(3n+1;4n+1\right)\). Ta có :

\(\hept{\begin{cases}3n+1⋮d\\4n+1⋮d\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}12n+4⋮d\\12n+3⋮d\end{cases}}}\Leftrightarrow12n+4-\left(12n+3\right)⋮d\)

\(12n+4-\left(12n+3\right)⋮d\Leftrightarrow12n+4-12n-3⋮d\Leftrightarrow1⋮d\)

\(\Leftrightarrow d\in\left\{1;-1\right\}\)

Vậy \(\frac{3n+1}{4n+1}\)tối giản với \(n\inℤ\) ( đpcm )

mình gợi ý

muốn cho\(\frac{n+1}{n-3}\)là phân số tối giản thì (n+1,n-3)=1.Ta biết rằng nếu (a,b)=1 thì (a.a-b)=1 \(\Rightarrow\)(n-3,4)=1\(\Rightarrow\)n-3 ko chia hết cho2 hay n là số chẵn

A = n+1/n-3 = n-3+4/n-3 = n-3/n-3 + 4/n-3 = 1 + 4/n-3

Để A tối giản <=> ƯCLN  ( n +1;n-3) = 1 <=> ƯCLN ( 4;n-3) = 1

<=> n-3 không chia hết cho 4

<=> n - 3 thuộc 4k

<=> n thuộc 4k - 3

Bài này chỉ  ra kết quả tổng quát của n được thôi,không ra kết quả được đâu

Tại sao UCLN (n-1;n+3) = 1 <=> UCLN ( 4;n-3) =1 mình chưa hiểu lắm

Ta có: đặt UC(4n+1,6n+1)=d

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+1⋮d\\6n+1⋮d\end{cases}\Leftrightarrow}3\left(4n+1\right)-2\left(6n+1\right)⋮d\Leftrightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1\)

Vậy phân số tối giản với mọi n thuộc N*

tại sao có 3 và 2 vậy bn

Giả sử 7n+3 và 5n+2 có nghiệm nguyên tố là d trong đó d>1.

Khi đó 7n+3 chia hết cho d

=> 5(7n+3) chia het cho d hay 35n+15 chc d           (1)

5n+2 chc d

=>7(5n+2) chc d

hay 35n+14 chc d            (2)

Tu 1 va 2 ta suy ra 35n+15-(35n+14) chc d hay 1 chc d =>d=1(vô lý với giả thiết vậy phân số đã tối giản

Gọi d = ƯCLN(7n + 3; 5n + 2) (\(d\in\)N*)

=> 7n + 3 chia hết cho d; 5n + 2 chia hết cho d

=> 5.(7n + 3) chia hết cho d; 7.(5n + 2) chia hết cho d

=> 35n + 15 chia hết cho d; 35n + 14 chia hết cho d

=> (35n + 15) - (35n + 14) chia hết cho d

=> 35n + 15 - 35n - 14 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d thuộc N* => d = 1

=> ƯCLN(7n + 3; 5n + 2) = 1

=> phân số \(\frac{7n+3}{5n+2}\)là phân số tối giản (đpcm)

Gọi UCLN(7n+3;5n+2) là d

Ta có:

[5(7n+3)]-[7(5n+2)] chia hết d

=>[35n+15]-[35n+14] chia hết d

=>1 chia hết d

=>d=1

Vậy ps trên tối giản

Giả sử (m + n)/n không là phân số tối giản. Đặt Ư CLN(m + n;n) = d (d ≠ 1). Khi đó (m + n) ⋮ d, n ⋮ d => (a + b) - b ⋮ d => a ⋮ d mà n ⋮ d => m/n không tối giản (vô lý) => với mọi d khác 1 m/n không tối giản => d = 1 => (m + n)/n cũng là phân số tối giản. Vậy ta có đpcm.

Gọi d là ƯCLN của 3n+2 và 4n+3

Theo đề bài ta có:

\(\hept{\begin{cases}3n+2⋮d\\4n+3⋮d\end{cases}}=>\hept{\begin{cases}4\left(3n+2\right)⋮d\\3\left(4n+3\right)d\end{cases}}\)

\(=>4\left(3n+2\right)-3\left(4n+3\right)⋮d\)

\(=>12n+8-12n-9⋮d\)

\(=>1⋮d=>d=1\)

Vì d=1 nên \(ƯCLN\)\(\left(3n+2,4n+3\right)=1\)

Vậy \(\frac{3n+2}{4n+3}\) là phân số tối giản

k mik đi

Gọi ƯCLN \(\frac{3n+2}{4n+3}\)là d, ta có :

3n + 2 \(⋮\)d → 12n + 8 \(⋮\)d ( nhân 3n + 2 với 4 )

4n + 3 \(⋮\)d → 12n + 9 \(⋮\)d ( nhân 4n + 3 với 3 )

→ ( 12n + 9 ) - ( 12n + 8 ) \(⋮\)d

     ( 12 n - 12n ) + ( 9 - 8 ) \(⋮\)d

                                     1 \(⋮\)d → d \(\in\)Ư ( 1 ) = 1. Vì các số tối giản có ước là 1 và chính nó.

Vậy ........................

Gọi d là ƯCLN của 3n + 2 và 4n + 3 

Ta có : 4n + 3 - 3n + 2 \(⋮\)d

=> 3(4n + 3 ) - 4(3n + 2 ) \(⋮\)d

=> 12n + 9 - 12n + 8 \(⋮\)d

=> 12n - 12n + 9 - 8 \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)d => d = 1

Vậy suy ra : \(\frac{3n+2}{4n+3}\)tối giản với mọi số tự nhiên n

Ta có : 

\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)

\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

...................

\(\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right).n}\).

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+....+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1^2}+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-....+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\).

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}< 2-\frac{1}{n}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Gọi vế trái là A. Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}=1-\frac{1}{2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3};....;\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right).n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}.\)

=> \(A< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

=> \(A< 2-\frac{1}{n}\) (ĐPCM)