4a²+b²+4ab+1

=(2a+b)²+1

Do\(\left(2a+b\right)^2\ge0\Rightarrow\left(2a+b\right)^2+1>0\)

=>(2a+b)²+1 luôn không âm với mọi số thực a;b

hay 4a²+b²+4ab+1 luôn không âm với mọi số thực a;b(ĐPCM)

\(\text{bđt}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(1+ab\right)\ge4ab\)

Theo bất đẳng thức Côsi: \(a+b\ge2\sqrt{ab};\text{ }1+ab\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(1+ab\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}=4ab\text{ (đpcm).}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b;\text{ }ab=1\Leftrightarrow a=b=1\)

moi hok lop 6

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số  \(a,b\)  không âm, ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)  \(\left(1\right)\)

\(ab+1\ge2\sqrt{ab}\)  \(\left(2\right)\)

Nhân  \(\left(1\right)\)  với  \(\left(2\right)\)  vế theo vế, ta được:

\(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge4ab\)  \(\left(đpcm\right)\)

Dấu  \(''=''\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b\)  và  \(ab=1\)  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=1\)  (do  \(a>0\)  và  \(b>0\), tức \(a,b\) dương)

Chú ý (không ghi): bài này có nhiều cách, bạn có thể tìm cách mới!

Với a,b không âm,áp dụng CAUCHY 2 lần ta có

\(a+4b\ge2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}\)(1)

\(1+4ab\ge2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}\)(2)

Nhân 2 vế của (1) và (2) ta có:\(\left(a+4b\right)\left(1+4ab\right)\ge16ab\)

Lại chia cả 2 vế cho (1+4ab) ta được điều cần cminh...

các bạn ơi **** mình cái mình đang cần khôi phục ****

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) ta có:

\(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

Tương tự ta có: 

\(\frac{bc}{a+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}\right);\frac{ac}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{c+b}\right)\)

Cộng theo vế ta được:

\(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ac}{b+1}\le\frac{1}{4}\left[\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{c+b}\right)+\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{c+a}\right)+\left(\frac{bc}{b+a}+\frac{ac}{a+b}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số a và b không âm:

\(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}=4\left(\sqrt{ab}\right)^2=4ab\)(đpcm)

Áp dụng BDT Cô-si: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\\ ab+1\ge2\sqrt{ab}\\ \Rightarrow\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{ab}=4ab\left(đpcm\right)\)