A- Tìm MAX (a^2 + b^2 + c^2) 
Từ ab + bc + ca = 1 <=> ab + c(a + b) = 1 dễ thấy rằng nếu cho a và b những giá trị lớn bao nhiêu cũng được thì bao giờ cũng có 1 số c sao cho ab + bc + ca = 1 (chỉ cần chọn c = (1 - ab)/(a + b) ).Vì a và b lớn bao nhiêu cũng được nên a^2 + b^2 + c^2 cũng lớn bao nhiêu cũng được ---> không có GTLN 

B- Tìm MIN (a^2 + b^2 + c^2) (làm luôn phần này vì có thể bạn chép sai đề) 
a) Cách 1 : Theo BĐT Cauchy, ta có 
...a^2 + b^2 >= 2ab 
...b^2 + c^2 >= 2bc 
...c^2 + a^2 >= 2ac 
...---> 2(a^2 + b^2 + c^2) >= 2(ab + bc + ca) = 2 
...---> a^2 + b^2 + c^2 >= 1 (dấu bằng xảy ra khi a^2 = b^2 = c^2 = 1 và a = b = c <=> a = b = c = (căn 3)/3 hoặc a = b = c = (-căn 3)/3 ) 
Vậy MIN (a^2 + b^2 + c^2) = 1 khi a = b = c = (căn 3)/3 hoặc a = b = c = (- căn 3)/3 
b) Cách 2 : Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có 
...(a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + a^2) >= (ab + bc + ca)^2 
...---> a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca = 1 (dấu bằng xảy ra khi a/b = b/c = c/a <=> a = b = c = (căn 3)/3 hoặc a = b = c = (- căn 3)/3 ) 
...---> MIN (a^2 + b^2 + c^2) = 1 khi a = b = c = (căn 3)/3 hoặc a = b = c = (- căn 3)/3 

A- Tìm MAX (a^2 + b^2 + c^2) 
Từ ab + bc + ca = 1 <=> ab + c(a + b) = 1 dễ thấy rằng nếu cho a và b những giá trị lớn bao nhiêu cũng được thì bao giờ cũng có 1 số c sao cho ab + bc + ca = 1 (chỉ cần chọn c = (1 - ab)/(a + b) ).Vì a và b lớn bao nhiêu cũng được nên a^2 + b^2 + c^2 cũng lớn bao nhiêu cũng được ---> không có GTLN 

B- Tìm MIN (a^2 + b^2 + c^2) (làm luôn phần này vì có thể bạn chép sai đề) 
a) Cách 1 : Theo BĐT Cauchy, ta có 
...a^2 + b^2 >= 2ab 
...b^2 + c^2 >= 2bc 
...c^2 + a^2 >= 2ac 
...---> 2(a^2 + b^2 + c^2) >= 2(ab + bc + ca) = 2 
...---> a^2 + b^2 + c^2 >= 1 (dấu bằng xảy ra khi a^2 = b^2 = c^2 = 1 và a = b = c <=> a = b = c = (căn 3)/3 hoặc a = b = c = (-căn 3)/3 ) 
Vậy MIN (a^2 + b^2 + c^2) = 1 khi a = b = c = (căn 3)/3 hoặc a = b = c = (- căn 3)/3 

đăng bài khó z lm cả 10 phút

A- Tìm MAX (a^2 + b^2 + c^2) 
Từ ab + bc + ca = 1 <=> ab + c(a + b) = 1 dễ thấy rằng nếu cho a và b những giá trị lớn bao nhiêu cũng được thì bao giờ cũng có 1 số c sao cho ab + bc + ca = 1 (chỉ cần chọn c = (1 - ab)/(a + b) ).Vì a và b lớn bao nhiêu cũng được nên a^2 + b^2 + c^2 cũng lớn bao nhiêu cũng được ---> không có GTLN 

B- Tìm MIN (a^2 + b^2 + c^2) (làm luôn phần này vì có thể bạn chép sai đề) 
a) Cách 1 : Theo BĐT Cauchy, ta có 
...a^2 + b^2 >= 2ab 
...b^2 + c^2 >= 2bc 
...c^2 + a^2 >= 2ac 
...---> 2(a^2 + b^2 + c^2) >= 2(ab + bc + ca) = 2 
...---> a^2 + b^2 + c^2 >= 1 (dấu bằng xảy ra khi a^2 = b^2 = c^2 = 1 và a = b = c <=> a = b = c = (căn 3)/3 hoặc a = b = c = (-căn 3)/3 ) 
Vậy MIN (a^2 + b^2 + c^2) = 1 khi a = b = c = (căn 3)/3 hoặc a = b = c = (- căn 3)/3 
b) Cách 2 : Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có 
...(a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + a^2) >= (ab + bc + ca)^2 
...---> a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca = 1 (dấu bằng xảy ra khi a/b = b/c = c/a <=> a = b = c = (căn 3)/3 hoặc a = b = c = (- căn 3)/3 ) 
...---> MIN (a^2 + b^2 + c^2) = 1 khi a = b = c = (căn 3)/3 hoặc a = b = c = (- căn 3)/3 

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow\)\(ab+bc+ca\le2\)

\(\Leftrightarrow\)\(2ab+2bc+2ca\le4\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\le6\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^2\le6\)

\(\Leftrightarrow\)\(-\sqrt{6}\le a+b+c\le\sqrt{6}\)

hếy bít làm :vvv 

\(2=a^2+b^2+c^2\ge b^2+c^2\ge2bc\Rightarrow bc\le1\)

Ta có:

\(P^2=\left(a+b+c-abc\right)^2=\left[a\left(1-bc\right)+\left(b+c\right).1\right]^2\)

\(P^2\le\left[a^2+\left(b+c\right)^2\right]\left[\left(1-bc\right)^2+1\right]\)

\(P^2\le\left(a^2+b^2+c^2+2bc\right)\left(b^2c^2-2bc+2\right)\)

\(P^2\le\left(2+2bc\right)\left(b^2c^2-2bc+2\right)\)

\(P^2\le2\left[\left(bc\right)^3-\left(bc\right)^2+2\right]\le2.2=4\)

\(\Rightarrow-2\le P\le2\)

Min, max xảy ra với \(\left(a;b;c\right)=\left(0;-1;-1\right)\) và \(\left(0;1;1\right)\) và các hoán vị

Lời giải:
$C=-15-x^2+6x=-6-(x^2-6x+9)=-6-(x-3)^2$

Vì $(x-2)^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow C\leq -6< 0$

Vậy $C$ luôn âm.

4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)

Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)

Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)

@Cool Kid:

Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)

Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)

í lộn, bài 4:v Bài 3 thấy quen quen, đợi chút em lục lại@Hoàng Quốc Tuấn 

`A=(2x)^2+2.2x.1+1^2+1=(2x+1)^2+1`

`=> A_(min)=1 <=>x=-1/2`

`B=(\sqrt2x)^2-2.\sqrt2 x . \sqrt2/2 + (\sqrt2/2)^2 + 1/2`

`=(\sqrt2x-\sqrt2/2)^2+1/2`

`=> B_(min)=1/2 <=> x=1/2`

`C=-(x^2-2.x.3+3^2+6)=-(x-3)^2-6`

`=> C_(max)=-6 <=> x=3`