Ta có :

( x - 1 )²\(\ge\)0 => x² - 2x + 1 \(\ge\)0 => x² + 1 \(\ge\)2x

Tương tự ta có : y² + 1 \(\ge\)2y ; z² + 1 \(\ge\)2z

=> x² + y² + z² + 3 \(\ge\)2 ( x + y + z ) (1)

Lại có : ( x + y + z )² \(\ge\)0 => x² + y² + z² \(\ge\)2 ( xy + yz + zx ) (2)

Lấy (1) + (2) => 2 ( x² + y² + z² ) + 3 \(\ge\)2 ( x + y + z + xy + yz + zx )

<=> 2 ( x² + y² + z² ) \(\ge\)2.3033 - 3 = 6063

<=> x² + y² + z² \(\ge\)3031,5 > 2021 ( đpcm )

\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\\ \Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z\\ \text{Mà }x+y+z=-3\Leftrightarrow x=y=z=-1\\ \Leftrightarrow B=1-1+1=1\)

\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}=\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự:

\(\dfrac{y}{y+\sqrt{y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

\(\dfrac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/

bài của tui mà -_-

hihi k biết làm nên đăng ^^

Sửa đề : cm\(x^2+y^2+z^2\ge3\)

Theo bunhiacopxki ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2+x^2\right)\ge\left(xy+yz+xz\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\left|xy+yz+yz\right|\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\)(1)

Lại có : \(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)(Cauchy)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\)(2)

Cộng vế với vế của (1) ; (2) ta có :

\(3x^2+3y^2+3z^2+3\ge2\left(xy+yz+xz+x+x+z\right)=2.6=12\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=\frac{12}{3}-1=3\)

Ta có: 
x2+y2>=2xy {1} 
y2+z2>=2yz {2} 
x2+z2>=2xz {3} 

cộng{1},{2}và{3}:2{x2+y2+z2}>=2{xy+yz+... 
x2+y2+z2>=xy+yz+xz 
ta có:x+y+z+xy+yz+xz=6 
xy+yz+xz=6-{x+y+z} 
để cho bđt có nghĩ khi và chỉ khi:x=y=z=1 
suy ra:x+y+z=3 
vậy:x2+y2+z2>=6-{x+y+z} 
x2+y2+z2>=3

áp dụng BĐT (a - b)² ≥ 0 → a² + b² ≥ 2ab ta có: 
x² + y² ≥ 2xy 
x² + 1 ≥ 2x 
y² + z² ≥ 2yz 
y² + 1 ≥ 2y 
z² + x² ≥ 2xz 
z² + 1 ≥ 2z 
Cộng theo vế → 3(x² + y² + z²) + 3 ≥ 2(x + y + z + xy + yz + zx) = 2.6 = 12 
→ x² + y² + z² ≥ 9/3 = 3 

ta có bđt phụ ,,,,,,,,  x²+y²+z² >= xy+yz+zx

thay vào thôi,,,cái bđt dễ cm mà,,,nhân 2 2 vế rồi dùng tương đương